6. (1)一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明；
(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图,并说明这四条直线的位置关系；
(3)平面上有n条直线. 每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多,记为a_n,试研究a_n与n之间的关系.

$(1)$ 两条直线、三条直线分平面的情况
- 两条直线：
当两条直线平行时，把平面分成$3$个部分；当两条直线相交时，把平面分成$4$个部分。
- 三条直线：
三条直线平行时，把平面分成$4$个部分；
两条直线平行，第三条直线与之相交，把平面分成$6$个部分；
三条直线相交于一点，把平面分成$6$个部分；
三条直线两两相交且不共点，把平面分成$7$个部分。
$(2)$ 四条直线分平面的情况
- 四条直线最多分平面的部分数及位置关系：
四条直线最多可以把平面分成$11$个部分。
位置关系为：四条直线两两相交，且任意三条直线不共点。
$(3)$ 研究$a_{n}$与$n$之间的关系
- 推导过程：
设$n$条直线把平面分成$a_{n}$个区域，$n + 1$条直线把平面分成$a_{n + 1}$个区域。
当增加第$n + 1$条直线时，它与前面$n$条直线都相交，有$n$个交点，这$n$个交点把第$n + 1$条直线分成$n+1$段，每一段将原来所在的区域一分为二。
所以$a_{n + 1}=a_{n}+(n + 1)$。
已知$a_{1}=2$。
由$a_{n + 1}-a_{n}=n + 1$可得：
$a_{2}-a_{1}=2$；
$a_{3}-a_{2}=3$；
$·s$
$a_{n}-a_{n - 1}=n$。
将以上$n - 1$个式子累加：
$a_{n}-a_{1}=2 + 3+·s+n$。
根据等差数列求和公式$S_{k}=\frac{k(k + 1)}{2}$（这里$k=n-1$，$S=2 + 3+·s+n=\frac{(n-1)(2 + n)}{2}=\frac{n^{2}+n - 2}{2}$）。
又$a_{1}=2$，所以$a_{n}=2+\frac{n^{2}+n - 2}{2}=\frac{n^{2}+n + 2}{2}$。
综上，$(1)$两条直线平行分$3$个部分，相交分$4$个部分；三条直线平行分$4$个部分，两条平行与第三条相交分$6$个部分，三条相交于一点分$6$个部分，三条两两相交且不共点分$7$个部分；$(2)$四条直线最多分$11$个部分，位置关系是两两相交且任意三条直线不共点；$(3)$$\boldsymbol{a_{n}=\frac{n^{2}+n + 2}{2}}$。

7. (1)观察思考
如图,线段AB上有两个点C,D,请分别写出以点A,B,C,D为端点的线段,并计算图中共有多少条线段；
(2)模型构建
如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
(3)拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题.

（1）
∵以点A为左端点向右的线段有：线段AC，AD，AB，以点C为左端点向右的线段有线段CD，CB，以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6(条)线段. （2）$\frac{m(m-1)}{2}$，理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\cdots+3+2+1$，
∴$x=\frac{m(m-1)}{2}$. （3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行$\frac{8×(8-1)}{2}=28$(场)比赛.