1. (1)$5 × (-3) + 6 ÷ 2 = $；
(2)$12 ÷ (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = $.

(1)$ - 12$；
(2)$-72$。

(1)
首先计算乘法：$5×(-3)=-15$；
然后计算除法：$6÷2 = 3$；
最后计算加法：$-15 + 3=-12$。
(2)
先计算括号内的值：$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}$；
再计算除法：$12÷(-\frac{1}{6})=12×(-6)= - 72$。

2. 算式$[(-8) - □ ] ÷ (-2) = 4$中,$□$表示的数是()
A.1
B.$-1$
C.$-2$
D.0

D

设$□$表示的数为$x$，根据题意可得方程：$[(-8)-x] ÷ (-2)=4$，
根据除法各部分之间的关系，可得：$(-8)-x=4× (-2)$，
即：$(-8)-x=-8$，
移项得：$-x=-8+8$，
即：$-x=0$，
解得：$x=0$。
所以$□$表示的数是$0$。

3. 计算$1 + \frac{1}{2} × 2 - \frac{1}{3} ÷ 3$的结果是()
A.1
B.$1\frac{8}{9}$
C.1
D.$\frac{8}{9}$

B

首先根据运算顺序，先计算乘除运算，
$\frac{1}{2} × 2 = 1$，
$\frac{1}{3} ÷ 3 = \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$，
将原式$1 + \frac{1}{2} × 2 - \frac{1}{3} ÷ 3$转化为：
$1 + 1 - \frac{1}{9}$
$= 2 - \frac{1}{9}$
$= 1\frac{8}{9}$

4. 我们定义一种新运算,规定$x☆y = x(y ÷ 3) + y - 2x$,例如：$5☆9 = 5 × (9 ÷ 3) + 9 - 2 × 5 = 14$,则$1☆(-6)$的值为()
A.10
B.6
C.$-10$
D.$-6$

C

根据定义，$x☆y = x(y ÷ 3) + y - 2x$，将$x=1$，$y=-6$代入公式：
$1☆(-6) = 1 × ((-6) ÷ 3) + (-6) - 2 × 1$
$= 1 × (-2) - 6 - 2$
$= -2 - 6 - 2$
$= -10$

5. 为使算式$|5□ (-3)| + 4$计算出来的值最大,则算式中“$□$”处应填入的运算符号为()
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

C

分别代入各运算符号计算：
填入“+”：$|5 + (-3)| + 4 = |2| + 4 = 2 + 4 = 6$
填入“-”：$|5 - (-3)| + 4 = |8| + 4 = 8 + 4 = 12$
填入“×”：$|5 × (-3)| + 4 = |-15| + 4 = 15 + 4 = 19$
填入“÷”：$|5 ÷ (-3)| + 4 = |-\frac{5}{3}| + 4 = \frac{5}{3} + 4 = \frac{17}{3} \approx 5.67$
比较结果：$19 ＞ 12 ＞ 6 ＞ \frac{17}{3}$，故填入“×”时值最大。

6. 学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过 100 元,不享受优惠；②一次性购书超过 100 元但不超过 200 元一律打九折；③一次性购书 200 元及以上一律打八折.如果王明同学一次性购书付款 162 元,那么王明所购书的原价为()
A.180 元
B.202.5 元
C.180 元或 202.5 元
D.180 元或 200 元

C

根据题意分两种情况讨论：
情况一：若王明同学一次性购书超过$100$元但不超过$200$元，一律打九折。
设王明所购书的原价为$x$元，因为$100\lt x\leq200$，根据打九折的优惠方案，可列方程$0.9x = 162$，
解得$x = 180$（元），$100\lt180\leq200$，符合该情况。
情况二：若王明同学一次性购书$200$元及以上，一律打八折。
设王明所购书的原价为$y$元，因为$y\geq200$，根据打八折的优惠方案，可列方程$0.8y = 162$，
解得$y = 202.5$（元），$202.5\gt200$，符合该情况。
所以王明所购书的原价为$180$元或$202.5$元。

7. 计算下列各题：
(1)$(-10\frac{1}{8}) ÷ 2\frac{1}{4} × \frac{2}{9} ÷ (-2)$；
(2)$[(-2\frac{2}{3}) + (-3\frac{1}{3})] ÷ (-4) × \frac{9}{2}$；
(3)$-8\frac{1}{4} + 8\frac{1}{4} ÷ (-2\frac{7}{12} × \frac{3}{31})$；
(4)$-1 + 6 × (-\frac{1}{6}) ÷ (-6)$.

(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{27}{4}$；(3)$-\frac{165}{4}$；(4)$-\frac{5}{6}$

(1) 原式$=(-\frac{81}{8}) ÷ \frac{9}{4} × \frac{2}{9} ÷ (-2)$
$=(-\frac{81}{8}) × \frac{4}{9} × \frac{2}{9} × (-\frac{1}{2})$
$=\frac{81 × 4 × 2 × 1}{8 × 9 × 9 × 2}$
$=\frac{1}{2}$
(2) 原式$=[(-\frac{8}{3}) + (-\frac{10}{3})] ÷ (-4) × \frac{9}{2}$
$=(-\frac{18}{3}) × (-\frac{1}{4}) × \frac{9}{2}$
$=(-6) × (-\frac{1}{4}) × \frac{9}{2}$
$=\frac{6 × 1 × 9}{4 × 2}$
$=\frac{27}{4}$
(3) 原式$=-\frac{33}{4} + \frac{33}{4} ÷ [(-\frac{31}{12}) × \frac{3}{31}]$
$=-\frac{33}{4} + \frac{33}{4} ÷ (-\frac{1}{4})$
$=-\frac{33}{4} + \frac{33}{4} × (-4)$
$=-\frac{33}{4} - 33$
$=-\frac{33}{4} - \frac{132}{4}$
$=-\frac{165}{4}$
(4) 原式$=-1 + [6 × (-\frac{1}{6})] ÷ (-6)$
$=-1 + (-1) ÷ (-6)$
$=-1 + \frac{1}{6}$
$=-\frac{5}{6}$

8. 有两个数$-4和+6$,它们相反数的和为$a$,倒数的和为$b$,和的倒数为$c$,求$a ÷ b × c$的值.

首先，根据题意，数$-4$和$+6$的相反数分别为$4$和$-6$，所以它们的和$a$为：
$a = 4 + (-6) = -2$，
接着，数$-4$和$+6$的倒数分别为$-\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，所以它们的和$b$为：
$b = -\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{12}$，
然后，数$-4$和$+6$的和为：
$-4 + 6 = 2$，
其倒数$c$为：
$c = \frac{1}{2}$，
最后，根据有理数的除法与乘法运算法则，计算$a ÷ b × c$的值：
$a ÷ b × c = (-2) ÷ (-\frac{1}{12}) × \frac{1}{2} = (-2) × (-12) × \frac{1}{2} = 12$。
故答案为：$12$。