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3. 如图所示,点A,D,B,E在同一条直线上,若AD = BE,∠A = ∠EDF,∠E = ∠ABC。求证：AC = DF。
答案
证明：
因为$AD = BE$，
所以$AD + DB = BE + DB$，
即$AB=DE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle EDF \\AB = DE\\\angle ABC=\angle E\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理，
$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
所以$AC = DF$。
因为$AD = BE$，
所以$AD + DB = BE + DB$，
即$AB=DE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle EDF \\AB = DE\\\angle ABC=\angle E\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理，
$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
所以$AC = DF$。
【例2】如图所示,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE = BF,∠A = ∠B,∠ACE = ∠BDF。
(1) 求证：△ACE≌△BDF；
(2) 若AB = 8,AC = 2,求CD的长。
(1) 求证：△ACE≌△BDF；
(2) 若AB = 8,AC = 2,求CD的长。
答案
(1) 证明：在△ACE和△BDF中，
∵∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，
∴△ACE≌△BDF(AAS)。
(2) ∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD。
∵AC=2，
∴BD=2。
∵AB=8，
∴AD=AB-BD=8-2=6。
∵CD=AD-AC=6-2=4。
∴CD的长为4。
∵∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，
∴△ACE≌△BDF(AAS)。
(2) ∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD。
∵AC=2，
∴BD=2。
∵AB=8，
∴AD=AB-BD=8-2=6。
∵CD=AD-AC=6-2=4。
∴CD的长为4。
4. 根据下列条件,能画出唯一确定的三角形的是(
A.AB = 4,BC = 8,AC = 3
B.AB = 4,∠B = 30°,AC = 3
C.AB = 4,∠B = 30°,∠C = 45°
D.AB = 4,∠C = 90°
C
)A.AB = 4,BC = 8,AC = 3
B.AB = 4,∠B = 30°,AC = 3
C.AB = 4,∠B = 30°,∠C = 45°
D.AB = 4,∠C = 90°
答案
C
解析
A. 对于$AB = 4$，$BC = 8$，$AC = 3$，由于$AB + AC = 7 ＜ BC$，不满足三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形，故A选项错误。
B. 对于$AB = 4$，$\angle B = 30{°}$，$AC = 3$，知道两边及其中一边的对角，但这样的条件不能确定唯一的三角形，因为满足这些条件的三角形可能有两个或者不存在，故B选项错误。
C. 对于$AB = 4$，$\angle B = 30{°}$，$\angle C = 45{°}$，根据三角形的内角和为$180{°}$，可以计算出$\angle A = 180{°} - 30{°} - 45{°} = 105{°}$。此时，知道三角形的两个角及其夹边的长，根据$ASA$（角边角）全等判定，可以确定唯一的三角形，故C选项正确。
D. 对于$AB = 4$，$\angle C = 90{°}$，只知道三角形的一条边和一个角，这样的条件不能确定唯一的三角形，因为满足这些条件的直角三角形可能有无数个，故D选项错误。
B. 对于$AB = 4$，$\angle B = 30{°}$，$AC = 3$，知道两边及其中一边的对角，但这样的条件不能确定唯一的三角形，因为满足这些条件的三角形可能有两个或者不存在，故B选项错误。
C. 对于$AB = 4$，$\angle B = 30{°}$，$\angle C = 45{°}$，根据三角形的内角和为$180{°}$，可以计算出$\angle A = 180{°} - 30{°} - 45{°} = 105{°}$。此时，知道三角形的两个角及其夹边的长，根据$ASA$（角边角）全等判定，可以确定唯一的三角形，故C选项正确。
D. 对于$AB = 4$，$\angle C = 90{°}$，只知道三角形的一条边和一个角，这样的条件不能确定唯一的三角形，因为满足这些条件的直角三角形可能有无数个，故D选项错误。
5. 如图所示,AB//DE,AB = DE,添加下列条件,仍不能判断△ABC≌△DEF的是(
A.AC = DF
B.BF = CE
C.∠A = ∠D
D.AC//DF
A
)A.AC = DF
B.BF = CE
C.∠A = ∠D
D.AC//DF
答案
A
解析
∵AB//DE，∴∠B=∠E（两直线平行，内错角相等），且AB=DE。
选项A：添加AC=DF，已知AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，为SSA条件，无法判定△ABC≌△DEF；
选项B：添加BF=CE，∵BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，又AB=DE，∠B=∠E，由SAS可判定全等；
选项C：添加∠A=∠D，∵AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，由ASA可判定全等；
选项D：添加AC//DF，∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等），又AB=DE，∠B=∠E，由AAS可判定全等。
选项A：添加AC=DF，已知AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，为SSA条件，无法判定△ABC≌△DEF；
选项B：添加BF=CE，∵BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，又AB=DE，∠B=∠E，由SAS可判定全等；
选项C：添加∠A=∠D，∵AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，由ASA可判定全等；
选项D：添加AC//DF，∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等），又AB=DE，∠B=∠E，由AAS可判定全等。
6. 如图所示,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE = FE,FC//AB,若AB = 4,CF = 3,求线段BD的长。
答案
根据题意：
$\because FC// AB$，
$\therefore \angle ADE=\angle CFE$（两直线平行，内错角相等），
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，
$\begin{cases}\angle ADE=\angle CFE,\\DE=FE,\\\angle AED=\angle CEF.\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle CFE（ASA）$，
$\therefore AD=CF=3$，
$\because AB=4$，
$\therefore BD=AB-AD=4-3=1$，
所以线段$BD$的长为$1$。
$\because FC// AB$，
$\therefore \angle ADE=\angle CFE$（两直线平行，内错角相等），
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，
$\begin{cases}\angle ADE=\angle CFE,\\DE=FE,\\\angle AED=\angle CEF.\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle CFE（ASA）$，
$\therefore AD=CF=3$，
$\because AB=4$，
$\therefore BD=AB-AD=4-3=1$，
所以线段$BD$的长为$1$。
1. 如图所示,点D在AB上,点E在AC上,且∠B = ∠C,那么补充下列条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是(
A.AD = AE
B.∠AEB = ∠ADC
C.BE = CD
D.AB = AC
B
)A.AD = AE
B.∠AEB = ∠ADC
C.BE = CD
D.AB = AC
答案
B
解析
A. 当$AD=AE$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，根据“角角边”定理，可推出$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
B. 当$\angle AEB=\angle ADC$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，三个角对应相等，无法得出对应边相等，无法证明$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
C. 当$BE=CD$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，根据“角角边”定理，可推出$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
D. 当$AB=AC$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，根据“角边角”定理，可推出$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
综上所述，答案选B。
B. 当$\angle AEB=\angle ADC$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，三个角对应相等，无法得出对应边相等，无法证明$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
C. 当$BE=CD$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，根据“角角边”定理，可推出$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
D. 当$AB=AC$时，结合$\angle B=\angle C$和$\angle A=\angle A$，根据“角边角”定理，可推出$\triangle ABE≌\triangle ACD$。
综上所述，答案选B。
2. 根据下列已知条件,能确定△ABC的形状和大小的是(
A.∠A = 30°,∠B = 60°,∠C = 90°
B.∠A = 40°,∠B = 50°,AB = 5 cm
C.AB = 5 cm,AC = 4 cm,∠B = 30°
D.AB = 6 cm,BC = 4 cm,∠A = 30°
B
)A.∠A = 30°,∠B = 60°,∠C = 90°
B.∠A = 40°,∠B = 50°,AB = 5 cm
C.AB = 5 cm,AC = 4 cm,∠B = 30°
D.AB = 6 cm,BC = 4 cm,∠A = 30°
答案
B
解析
A. 三个角分别确定，但无边长信息，无法确定三角形大小，只能确定形状（相似），不符合题意。
B. 已知两角∠A=40°、∠B=50°，则∠C=180°-40°-50°=90°，且夹边AB=5cm，符合全等判定AAS（两角及其中一角的对边），能确定唯一三角形。
C. 已知两边及其中一边的对角，不符合全等判定条件，不能确定唯一三角形。
D. 已知两边及其中一边的对角，不符合全等判定条件，不能确定唯一三角形。
B. 已知两角∠A=40°、∠B=50°，则∠C=180°-40°-50°=90°，且夹边AB=5cm，符合全等判定AAS（两角及其中一角的对边），能确定唯一三角形。
C. 已知两边及其中一边的对角，不符合全等判定条件，不能确定唯一三角形。
D. 已知两边及其中一边的对角，不符合全等判定条件，不能确定唯一三角形。
3. (2025·南充)下列各图中,a,b,c分别是三角形的边长,由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息,能确定与左侧△ABC全等的是(
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.只有丙
D
)A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.只有丙
答案
【解析】：△ABC中，∠A=72°，∠B=50°，∠C=58°，BC=a（∠A的对边）。
甲：仅50°角和边a，未明确角与边的位置关系，条件不足，无法用ASA或AAS判定全等。
乙：边a、边c及50°角，若50°角非a、c夹角则为SSA，无法判定；SAS虽可判定但超纲（本课时为ASA和AAS），故不能确定。
丙：72°角、50°角（第三角58°）及边a，72°角的对边为a，与△ABC中∠A（72°）的对边a对应相等，符合AAS判定全等。
综上，只有丙能确定全等。
【答案】：D
甲：仅50°角和边a，未明确角与边的位置关系，条件不足，无法用ASA或AAS判定全等。
乙：边a、边c及50°角，若50°角非a、c夹角则为SSA，无法判定；SAS虽可判定但超纲（本课时为ASA和AAS），故不能确定。
丙：72°角、50°角（第三角58°）及边a，72°角的对边为a，与△ABC中∠A（72°）的对边a对应相等，符合AAS判定全等。
综上，只有丙能确定全等。
【答案】：D
4. 如图所示,已知∠B = ∠DEF,BC = EF,现要证明△DEF≌△ABC,若要以“ASA”为依据,则还缺条件
∠ACB=∠F
。答案
∠ACB=∠F
解析
要以“ASA”为依据证明△DEF≌△ABC，已知∠B=∠DEF，BC=EF。“ASA”需两角及其夹边对应相等，∠B与∠DEF的夹边分别为BC和EF，BC=EF已具备，还需∠ACB=∠F。
