4. 如图所示,一个小长方形的长为$a + b$,宽为$a$,把$6$个大小相同的小长方形放入大长方形内.
(1)大长方形的宽$m = $______,长$n = $______.(用含$a$,$b$的式子表示)
(2)求在大长方形中,阴影部分的面积.(用含$a$,$b$的式子表示)

答案略

(1) $a + b + a$；$2(a + b)$
(2) $2(a + b)(a + b + a) - 6a(a + b)$
$=2(a + b)(2a + b) - 6a(a + b)$
$=(a + b)[2(2a + b) - 6a]$
$=(a + b)(4a + 2b - 6a)$
$=(a + b)(2b - 2a)$
$=2b^2 - 2a^2$

1. 若$M= (x - 3)(x - 4)$,$N= (x - 1)(x - 6)$,则$M与N$的大小关系为 ()
A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.由$x$的取值而定

A

先分别展开$M$和$N$：
$M=(x - 3)(x - 4)=x^{2}-4x-3x + 12=x^{2}-7x + 12$，
$N=(x - 1)(x - 6)=x^{2}-6x-x + 6=x^{2}-7x + 6$，
然后用$M - N$判断大小：
$M - N=(x^{2}-7x + 12)-(x^{2}-7x + 6)$
$=x^{2}-7x + 12 - x^{2}+7x - 6$
$=6$，
因为$M - N = 6\gt0$，所以$M\gt N$。

2. $(2024\cdot 石家庄)(x + 2)(x + a)= x^{2}-bx - 8$,则$a^{b}$的值是 ()
A.$- 8$
B.$- 4$
C.$\frac{1}{8}$
D.$16$

D

首先，将左边的多项式展开：
$(x + 2)(x + a) = x^2 + (2+a)x + 2a$，
题目给出等价关系：
$x^2 + (2+a)x + 2a = x^2 - bx - 8$。
比较两边的系数，得到以下方程组：
$2 + a = -b$，
$2a = -8$。
解第二个方程，得到：
$a = -4$。
将$a = -4$代入第一个方程，得到：
$2 - 4 = -b \implies b = 2$。
最后，求$a^b$的值：
$a^b = (-4)^2 = 16$。

3. 计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)= $；
(2)$(2x - 1)(2x + 1)= $；
(3)$(x - 3)(x^{2}+9)= $；
(4)$(x - 5)(- 5 - x)= $.

(1)$x^{2} - 9$；
(2)$4x^{2} - 1$；
(3)$x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27$；
(4)$25 - x^{2}$。

(1) 根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$a$视为$x$，$b$视为$3$，可得：
$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$；
(2) 同样根据平方差公式，将$a$视为$2x$，$b$视为$1$，可得：
$(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$；
(3) 首先，我们将$(x - 3)$分别与$(x^2 + 9)$的每一项相乘，即：
$(x - 3)(x^2 + 9) = x(x^2) + x(9) - 3(x^2) - 3(9) = x^3 + 9x - 3x^2 - 27= x^3 - 3x^2 + 9x - 27$；
(4) 调整顺序后根据平方差公式，将$a$视为$-5$或者$x$（最终结果一样），$b$视为$x$或者$5$，可得：
$(x - 5)(-5 - x) =- (x - 5)(x+5)= -[x^2 - 5^2] = -x^2 + 25 - 25+25（此处-25+25为了展示计算过程，实际可省略）= 25 - x^2$；

4. 已知$x + y = 1$,$xy = - 2$,那么$(2 - x)(2 - y)$的值为.

0

首先将$(2 - x)(2 - y)$展开，利用多项式乘多项式法则：
$(2 - x)(2 - y) = 2 × 2 + 2 × (-y) + (-x) × 2 + (-x) × (-y) = 4 - 2y - 2x + xy$。
将$x + y = 1$和$xy = -2$代入：
$4 - 2(x + y) + xy = 4 - 2 × 1 + (-2) = 4 - 2 - 2 = 0$。

5. 计算：
(1)$(x - 2)^{2}$；
(2)$(2x - 1)(3x^{2}+2x + 1)$；
(3)$5y^{2}-(y - 2)(3y + 1)-2(y + 1)(y - 5)$.

(1)
$\begin{aligned}(x - 2)^{2}&=x^{2}-2× x×2 + 2^{2}\\&=x^{2}-4x + 4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x - 1)(3x^{2}+2x + 1)\\=&2x×3x^{2}+2x×2x+2x×1-1×3x^{2}-1×2x - 1\\=&6x^{3}+4x^{2}+2x-3x^{2}-2x - 1\\=&6x^{3}+(4x^{2}-3x^{2})+(2x - 2x)-1\\=&6x^{3}+x^{2}-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&5y^{2}-(y - 2)(3y + 1)-2(y + 1)(y - 5)\\=&5y^{2}-(3y^{2}+y-6y - 2)-2(y^{2}-5y+y - 5)\\=&5y^{2}-(3y^{2}-5y - 2)-2(y^{2}-4y - 5)\\=&5y^{2}-3y^{2}+5y + 2-2y^{2}+8y + 10\\=&(5y^{2}-3y^{2}-2y^{2})+(5y + 8y)+(2 + 10)\\=&13y+12\end{aligned}$

6. 如图所示,某市有一块长为$(2a + 3b)$m,宽为$(2a - b)$m的长方形土地,角上有四个边长均为$(a - b)$m的小正方形空地,政府计划将阴影部分进行绿化.用含$a$,$b$的代数式表示绿化的面积(结果写成最简形式).

阴影部分的面积等于长方形土地的面积减去四个小正方形的面积。
长方形土地的面积：
$(2a + 3b)(2a - b)$
$=4a^{2}-2ab+6ab-3b^{2}$
$=4a^{2}+4ab-3b^{2}$
一个小正方形空地的面积为：
$(a - b)^{2} = a^{2}-2ab + b^{2}$
四个小正方形空地的面积和为：
$4(a^{2}-2ab + b^{2})=4a^{2}-8ab + 4b^{2}$
阴影部分的面积：
$4a^{2}+4ab-3b^{2}-(4a^{2}-8ab + 4b^{2})$
$=4a^{2}+4ab-3b^{2}-4a^{2}+8ab - 4b^{2}$
$ = 12ab-7b^{2}$
答：绿化的面积为$(12ab - 7b^{2})$ $m^{2}$。