单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的,再把所得的积.

每一项 ，相加

根据单项式与多项式相乘的运算法则，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

【例1】 计算：
(1) $(4a - b^{2})(-b)$；
(2) $(\frac{2}{3}a - \frac{4}{9})(-9a) - a(-6a + 4)$.

(1)
$\begin{aligned}(4a - b^{2})(-b) &=4a×(-b)-b^{2}×(-b)\\&=-4ab + b^{3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(\frac{2}{3}a - \frac{4}{9})(-9a) - a(-6a + 4)\\=&\frac{2}{3}a×(-9a)-\frac{4}{9}×(-9a)-a×(-6a)-a×4\\=&-6a^{2} + 4a + 6a^{2}-4a\\=&(-6a^{2}+6a^{2})+(4a - 4a)\\=&0\end{aligned}$

1. 计算$-x(x^{3} - 1)$的结果为 ()
A.$-x^{4} - 1$
B.$-x^{4} - x$
C.$-x^{4} + x$
D.$x^{4} - x$

C

根据单项式乘多项式法则，用单项式$-x$去乘多项式$x^{3}-1$的每一项，再把所得的积相加，即$-x(x^{3}-1)=-x× x^{3}-x×(-1)=-x^{4}+x$。

2. 若$x^{2} + 2x = -1$,则代数式$6 + x(x + 2)$的值为.

5

因为$x^{2} + 2x = -1$，所以$6 + x(x + 2) = 6 + (x^{2} + 2x) = 6 + (-1) = 5$

3. 计算：
(1) $-4xy(xy + 3x^{2}y)$；
(2) $-2ab(2a^{2} + ab - 2b^{2})$.

(1) $-4xy(xy + 3x^{2}y)$
$=-4xy \cdot xy + (-4xy) \cdot 3x^{2}y$
$=-4x^{2}y^{2} - 12x^{3}y^{2}$
(2) $-2ab(2a^{2} + ab - 2b^{2})$
$=-2ab \cdot 2a^{2} + (-2ab) \cdot ab + (-2ab) \cdot (-2b^{2})$
$=-4a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + 4ab^{3}$

4. 化简：$x + 2x(x - 1) - 3x(2x - 5)$.

$x + 2x(x - 1) - 3x(2x - 5)$
$=x + 2x^2 - 2x - 6x^2 + 15x$
$=(2x^2 - 6x^2) + (x - 2x + 15x)$
$=-4x^2 + 14x$

【例2】 如果一个长方形的周长为20,其中长为$a$,那么该长方形的面积为 ()
A.$10a$
B.$10a - a^{2}$
C.$20a$
D.$10a + a^{2}$

B

已知长方形的周长为20，长为$a$，设宽为$b$，则周长公式为$2(a + b) = 20$，即$a + b = 10$，所以$b = 10 - a$。
面积公式为长乘以宽，即$a × b = a(10 - a) = 10a - a^2$。

5. 一个长方体的长、宽、高分别为$2x - 1$,$2x$,$x^{2}$,则它的体积等于 ()
A.$4x^{4} - 4x^{2}$
B.$4x^{4} - 2x^{3}$
C.$4x^{3} - 2x^{2}$
D.$4x^{4}$

B

长方体的体积公式为$V = 长 × 宽 × 高$，
将给定的长、宽、高代入公式，得到：
$V = (2x - 1) × 2x × x^{2}$
$= (2x - 1) × 2x^{3}$
$= 2x × 2x^{3} - 1 × 2x^{3}$
$= 4x^{4} - 2x^{3}$

6. 已知$x^{2} - 2 = y$,那么$x(x - 2023y) - y(1 - 2023x)$的值为 ()
A.2
B.0
C.-2
D.1

A

首先对$x(x - 2023y) - y(1 - 2023x)$进行展开：
$x(x - 2023y) - y(1 - 2023x)$
$= x^2 - 2023xy - y + 2023xy$
$= x^2 - y$
由已知$x^2 - 2 = y$，将$y$代入：
$x^2 - y = x^2 - (x^2 - 2) = 2$
所以$x(x - 2023y) - y(1 - 2023x)$的值为2。

7. 如果$(2nx + 3x^{2} + mx^{3})(-4x^{2})的结果中不含x$的五次项,那么$m$的值为 ()
A.1
B.0
C.-1
D.$-\frac{1}{4}$

B

首先计算单项式与多项式的乘积：$(2nx + 3x^{2} + mx^{3}) \cdot (-4x^{2})$，
按照分配律，将单项式$-4x^{2}$分别与多项式中的每一项相乘，得到：
$-4x^{2} \cdot 2nx = -8nx^{3}$，
$-4x^{2} \cdot 3x^{2} = -12x^{4}$，
$-4x^{2} \cdot mx^{3} = -4mx^{5}$，
合并这些项，得到：
$-4mx^{5} - 8nx^{3} - 12x^{4}$，
由题意知，该结果中不含$x$的五次项，即五次项的系数应为0，所以有：
$-4m = 0$，
从上式可以解得：
$m = 0$。

8. (1)先化简,再求值：$-a(2a^{2} - 3a + 1) + 3a^{2}(a - 4)$,其中$a = -3$.
(2)已知$xy^{2} = -2$,求$xy(x^{2}y^{5} + 3xy^{3} - 2y)$的值.

(1)
首先对$-a(2a^{2} - 3a + 1) + 3a^{2}(a - 4)$进行化简：
$\begin{aligned}&-a(2a^{2} - 3a + 1) + 3a^{2}(a - 4)\\=& -2a^{3}+3a^{2}-a + 3a^{3}-12a^{2}\\=&(-2a^{3}+3a^{3})+(3a^{2}-12a^{2})-a\\=&a^{3}-9a^{2}-a\end{aligned}$
当$a = - 3$时，代入上式得：
$\begin{aligned}&(-3)^{3}-9×(-3)^{2}-(-3)\\=&-27 - 9×9 + 3\\=&-27-81 + 3\\=&-105\end{aligned}$
(2)
对$xy(x^{2}y^{5} + 3xy^{3} - 2y)$化简：
$\begin{aligned}&xy(x^{2}y^{5} + 3xy^{3} - 2y)\\=&x^{3}y^{6}+3x^{2}y^{4}-2xy^{2}\\=&(xy^{2})^{3}+3(xy^{2})^{2}-2xy^{2}\end{aligned}$
把$xy^{2}=-2$代入上式得：
$(-2)^{3}+3×(-2)^{2}-2×(-2)$
$=-8 + 3×4+4$
$=-8 + 12 + 4$
$=8$
综上，(1)中化简结果为$a^{3}-9a^{2}-a$，值为$-105$；(2)中值为$8$。