10. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= BC$,$DF\perp BC于点D$,$DF交AC于点F$.$F是AC$的中点,求证:$\angle CFD= \frac{1}{2}\angle ABC$.

证明：连接BF。
∵AB=BC，F是AC中点，
∴BF是等腰△ABC底边AC上的中线。
由等腰三角形三线合一性质，得BF平分∠ABC，且BF⊥AC。
∴∠CBF=1/2∠ABC，∠BFC=90°。
在Rt△BFC中，∠CBF+∠BCF=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵DF⊥BC，∴∠FDC=90°。
在Rt△FDC中，∠CFD+∠BCF=90°（直角三角形两锐角互余）。
∴∠CFD=∠CBF（同角的余角相等）。
∴∠CFD=1/2∠ABC。

11. (综合与探究)利用“三线合一”构造等腰三角形:如图①所示,$OP平分\angle MON$.点$A为OM$上一点,过点$A作AC\perp OP$,垂足为$C$,延长$AC交ON于点B$,可证得$\triangle AOC\cong\triangle BOC$,则$AO= BO$,即$\triangle AOC$是等腰三角形.
【问题提出】
(1) 如图②所示,在$\triangle ABC$中,$CD平分\angle ACB$,$AE\perp CD于点E$,若$\angle EAC= 63°$,$\angle B= 37°$,通过上述构造等腰三角形的办法,求$\angle DAE$的度数;
【问题探究】
(2) 如图③所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90°$,$CD平分\angle ACB$,$BE\perp CD$,垂足$E在CD$的延长线上,试探究$BE和CD$的数量关系.

(1)26°；(2)BE=1/2CD。

(1) 延长AE交BC于点F。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠FCE。
∵AE⊥CD，∴∠AEC=∠FEC=90°。
在△AEC和△FEC中，∠ACE=∠FCE，CE=CE，∠AEC=∠FEC，∴△AEC≌△FEC(ASA)。
∴AC=FC，∠EAC=∠EFC=63°。
在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠EAC=90°-63°=27°，∴∠ACB=2∠ACE=54°。
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-37°-54°=89°。
∠BAF=∠BAC-∠EAC=89°-63°=26°。
∵E在AF上，∴∠DAE=∠BAF=26°。
(2) 延长BE交CA延长线于点F。
∵CD平分∠ACB，∴∠BCE=∠FCE。
∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠FEC=90°。
在△BEC和△FEC中，∠BCE=∠FCE，CE=CE，∠BEC=∠FEC，∴△BEC≌△FEC(ASA)。
∴BE=FE，BF=2BE。
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAF=∠CAD=90°。
∵∠ACD+∠ADC=90°，∠ABF+∠BDE=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠ACD=∠ABF。
在△ABF和△ACD中，∠ABF=∠ACD，AB=AC，∠BAF=∠CAD，∴△ABF≌△ACD(ASA)。
∴BF=CD，∴CD=2BE，即BE=1/2CD。