1. 下列条件中,不能判定$\triangle ABC$是等腰三角形的是()
A.$AB = 3$,$BC = 4$,$AC = 3$
B.$\angle A = 40^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$
C.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:1:2$
D.$AB:BC:AC = 2:3:4$

D

A. $AB = AC = 3$，根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形为等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，不符合题意。
B. $\angle A = 40^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，则$\angle B=180-40-70=70^\circ$，$\angle C = \angle B$，根据等腰三角形的性质，等角对等边，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，不符合题意。
C. $\angle A : \angle B : \angle C = 1:1:2$，设$\angle A = x$，则$\angle B = x$，$\angle C = 2x$，由三角形内角和为$180^{\circ}$，得$x + x + 2x = 180^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$，所以$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$，根据等腰三角形的性质，等角对等边，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，不符合题意。
D. $AB:BC:AC = 2:3:4$，这三边比例均不相等，所以不能构成等腰三角形，符合题意。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C = 36^{\circ}$,$D$,$E两点在BC$上,$\angle ADE = \angle AED = 72^{\circ}$,则图中等腰三角形的个数有()

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

D

在△ABC中，∠B=∠C=36°，故AB=AC，△ABC是等腰三角形；
∠BAC=180°-36°-36°=108°。
在△ADE中，∠ADE=∠AED=72°，故AD=AE，△ADE是等腰三角形；
∠DAE=180°-72°-72°=36°。
∠ADE是△ABD的外角，∠ADE=∠B+∠BAD，即72°=36°+∠BAD，得∠BAD=36°=∠B，故AD=BD，△ABD是等腰三角形；
同理，∠AED是△AEC的外角，∠AED=∠C+∠CAE，即72°=36°+∠CAE，得∠CAE=36°=∠C，故AE=CE，△AEC是等腰三角形。
∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，∠AEB=∠AED=72°，故∠BAE=∠AEB，AB=BE，△ABE是等腰三角形；
∠CAD=∠CAE+∠DAE=36°+36°=72°，∠ADC=∠ADE=72°，故∠CAD=∠ADC，AC=CD，△ACD是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC、△ADE、△ABD、△AEC、△ABE、△ACD，共6个。

3. 如图,$OP平分\angle AOB$,点$C在OP$上,过点$C作CD// OB$,交$OA于点D$,若$CD = 4$,则$OD = $()

A.2
B.3
C.4
D.5

C

由于$OP$平分$\angle AOB$，根据角平分线的性质，得到$\angle BOC = \angle AOC$。
由于$CD// OB$，根据平行线的性质，得到$\angle BOC = \angle DCO$。
由于$\angle BOC = \angle AOC$和$\angle BOC = \angle DCO$，可以推出$\angle DCO = \angle AOC$。
根据等腰三角形的性质，在$\triangle DOC$中，由于$\angle DCO = \angle AOC$，所以$OD = CD$。
已知$CD = 4$，所以$OD = 4$。

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,$\angle ACD的平分线交AB于点E$,下列结论一定成立的是()

A.$BC = BE$
B.$CE = CB$
C.$AE = CE$
D.$CE = BE$

A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD\perp AB$，则$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，故$\angle ACD=\angle B$。
设$CE$平分$\angle ACD$，则$\angle ACE=\angle ECD=\alpha$，$\angle ACD=2\alpha$，因此$\angle B=2\alpha$。
$\angle ACB=90^{\circ}$，则$\angle BCE=\angle ACB-\angle ACE=90^{\circ}-\alpha$。
在$\triangle BEC$中，$\angle BEC=180^{\circ}-\angle B-\angle BCE=180^{\circ}-2\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\alpha$。
故$\angle BCE=\angle BEC$，由等角对等边得$BC=BE$。

5. 如图,$AE是\triangle ABC的外角\angle CAD$的平分线,$AE// BC$,则$\triangle ABC$是三角形.

等腰（题目要求填空，此为完整答案的简化，即答案为等腰三角形，填写“等腰”即可，若为选择题，根据选项选择对应字母）

由于$AE// BC$，根据平行线的性质，得$\angle DAE = \angle B$（同位角）和$\angle CAE=\angle C$（内错角）。
由于$AE$是$\angle CAD$的平分线，根据角的平分线性质，可得$\angle DAE = \angle CAE$。
通过等量代换可得$\angle B = \angle C$。
在$\triangle ABC$中，由于$\angle B = \angle C$，根据等腰三角形的性质，$AB=AC$，即$\triangle ABC$是等腰三角形。

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$CE平分\angle ACB$,交$AB于点E$,过点$E作EF// BC$,交$\triangle ABC的外角\angle ACG的平分线于点F$,$EF交AC于点D$,若$EF = 10$,则$CD = $.

5

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE.
∵EF//BC，∴∠DEC=∠BCE（内错角相等），∴∠DEC=∠ACE，∴ED=CD（等角对等边）.
∵CF平分∠ACG，∴∠ACF=∠FCG.
∵EF//BC，∴∠F=∠FCG（内错角相等），∴∠F=∠ACF，∴DF=CD（等角对等边）.
∵EF=ED+DF，ED=CD，DF=CD，∴EF=2CD.
∵EF=10，∴2CD=10，∴CD=5.

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC和\angle ACB的平分线相交于点D$,过点$D作EF// BC$,分别交$AB$,$AC于点E$,$F$. 若$AB = 14$,$AC = 18$,$BC = 21$,则$\triangle AEF$的周长为.

32

由于$EF// BC$，
根据平行线的性质，得到：
$\angle EDB = \angle DBC$，$\angle FDC = \angle DCB$，
由于$BD$和$CD$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，
所以：$\angle DBC = \angle DBE$，$\angle DCB = \angle DCF$，
从上述等式可以得到：
$\angle EDB = \angle DBE$，$\angle FDC = \angle DCF$，
根据等角对等边，得到：
$BE = DE$，$CF = DF$，
由于$EF = DE + DF$，可以得到：
$EF = BE + CF$，
接下来，计算$\triangle AEF$的周长：
$C_{\triangle AEF} = AE + EF + AF$
$= AE + (BE + CF) + AF$
$= (AE + BE) + (AF + CF)$
$= AB + AC$
$= 14 + 18$
$= 32$