8. 已知$|a| = 3,b^{2}= 4,a\lt b$,则$a + b= $。

$-1$或$-5$（或写成$-5$或$-1$）

由$|a| = 3$，得$a = 3$或$a = -3$。
由$b^2 = 4$，得$b = 2$或$b = -2$。
根据条件$a ＜ b$，对$a$和$b$的取值进行筛选：
当$a = 3$时，无$b$满足$a ＜ b$（因为$b$的最大值为$2$），故排除。
当$a = -3$时，$b$可以为$2$或$-2$，均满足$a ＜ b$。
分情况计算$a + b$：
当$a = -3$，$b = 2$时，$a + b = -3 + 2 = -1$。
当$a = -3$，$b = -2$时，$a + b = -3 + (-2) = -5$。

9. 平方等于它本身的数是,即$a^{2}= a$,则$a= $；立方等于它本身的数是,即$a^{3}= a$,则$a= $；平方等于立方的数是。

平方等于它本身的数是$0,1$，即$a^2 = a$，则$a = 0$或$1$；
立方等于它本身的数是$-1,0,1$，即$a^3 = a$，则$a = -1,0$或$1$；
平方等于立方的数是$0,1$。

平方等于它本身的数：设$a^2 = a$，则$a^2 - a = 0$，即$a(a - 1) = 0$，解得$a = 0$或$a = 1$。
立方等于它本身的数：设$a^3 = a$，则$a^3 - a = 0$，即$a(a^2 - 1) = 0$，进一步分解得$a(a - 1)(a + 1) = 0$，解得$a = 0$，$a = 1$或$a = -1$。
平方等于立方的数：设$a^2 = a^3$，则$a^3 - a^2 = 0$，即$a^2(a - 1) = 0$，解得$a = 0$或$a = 1$。

10. 设$n$是正整数,则$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}$的值为。

1. 当$n$为偶数时：
因为$n$为偶数，根据$(-1)^{k}=1$（$k$为偶数），$(-1)^{m}=-1$（$m$为奇数），则$(-1)^{n}=1$，$n + 2$也是偶数（因为$n+2=n+(2)$，$2$是偶数，偶数加偶数为偶数），所以$(-1)^{n + 2}=1$。
那么$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}=\frac{1 + 1}{2}$。
计算$\frac{1 + 1}{2}=\frac{2}{2}=1$。
2. 当$n$为奇数时：
因为$n$为奇数，所以$(-1)^{n}=-1$，$n + 2$是奇数（因为$n+2=n+(2)$，奇数加偶数为奇数），则$(-1)^{n + 2}=-1$。
那么$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}=\frac{-1+( - 1)}{2}$。
计算$\frac{-1+( - 1)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$。
综上，$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}=(-1)^{n}$。
故答案为$(-1)^{n}$。

11. 《庄子·天下》中记载：“一尺之锤,日取其半,万世不竭。”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完。若按此方式截一根长为1的木棍,第4天截取后木棍剩余的长度是。

$\frac{1}{16}$

第1天剩余：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；第2天剩余：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；第3天剩余：$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$；第4天剩余：$\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$。

12. 已知$(a + 2)^{2}与|b - 3|$互为相反数,求$a^{b}$的值。

$-8$

因为$(a + 2)^{2}$与$|b - 3|$互为相反数，所以$(a + 2)^{2} + |b - 3| = 0$。
又因为$(a + 2)^{2} \geq 0$，$|b - 3| \geq 0$，所以$a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$。
解得$a = -2$，$b = 3$。
则$a^{b} = (-2)^{3} = -8$。

13. 计算：$2^{1}-1 = 1,2^{2}-1 = 3,2^{3}-1 = 7,2^{4}-1 = 15,2^{5}-1 = 31,…$。归纳各计算结果中个位的数字规律,猜测$2^{888}-1$的个位数字是。

5

先计算前几个$2^n -1$的值，观察其个位数字的规律：
$2^1 -1 =1$，个位数字是1；
$2^2 -1 =3$，个位数字是3；
$2^3 -1 =7$，个位数字是7；
$2^4 -1 =15$，个位数字是5；
$2^5 -1 =31$，个位数字是1；
$2^6 -1 =63$，个位数字是3；
$2^7 -1 =127$，个位数字是7；
$2^8 -1 =255$，个位数字是5；
可以发现，个位数字以1、3、7、5这四个数字为一个周期循环。
因为$888÷4 = 222$，余数为0，说明$2^{888} -1$的个位数字与$2^4 -1$，$2^8 -1$等的个位数字相同，即为5。

14. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示。这样捏合到第次后可拉出128根面条。

$7$

本题可根据每次捏合后面条数量的变化规律，找出面条数量与捏合次数之间的关系，进而求出拉出$128$根面条时的捏合次数。
步骤一：分析每次捏合后面条的数量规律
第$1$次捏合后，面条数量为$2 = 2^1$根；
第$2$次捏合后，面条数量为$2×2 = 2^2 = 4$根；
第$3$次捏合后，面条数量为$2×2×2 = 2^3 = 8$根；
$\cdots$
以此类推，第$n$次捏合后，面条数量为$2^n$根。
步骤二：根据规律求出拉出$128$根面条时的捏合次数
设捏合到第$n$次后可拉出$128$根面条，由上述规律可得$2^n = 128$。
因为$2^7 = 128$，所以$n = 7$。

15. (1)根据乘方的定义计算：
①$3^{2}×5^{2}=$,$(3×5)^{2}=$；
②$(-2)^{3}×5^{3}=$,$[(-2)×5]^{3}=$。
(2)根据(1)中的计算结果猜想：$a^{n}·b^{n}=$。
(3)利用(2)中结论计算：①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}$；②$(\frac{21}{26})^{4}×(\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}$。

(1)①$3^{2}×5^{2}=9×25=225$，$(3×5)^{2}=15^{2}=225$；
②$(-2)^{3}×5^{3}=(-8)×125=-1000$，$[(-2)×5]^{3}=(-10)^{3}=-1000$。
(2)$(ab)^{n}$
(3)①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}=(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$；
②$(\frac{21}{26})^{4}×(\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=(\frac{21}{26}×\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=(\frac{3}{2})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=\frac{3}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})^{3}=\frac{3}{2}×1^{3}=\frac{3}{2}$。