登录
【例】已知A地到B地的普通公路长150km,高速公路比普通公路的路程缩短了30km,如果一辆小汽车从A地到B地走高速公路的平均速度是走普通公路的1.5倍,需要的时间比走普通公路少用1h,那么这辆小汽车走普通公路的平均速度是多少？
答案
设这辆小汽车走普通公路的平均速度是$x$ km/h，则走高速公路的平均速度是$1.5x$ km/h。
普通公路路程为150km，所用时间为$\frac{150}{x}$ h；高速公路路程为$150 - 30 = 120$km，所用时间为$\frac{120}{1.5x}$ h。
依题意，得$\frac{150}{x}-\frac{120}{1.5x}=1$。
化简$\frac{120}{1.5x}=\frac{80}{x}$，方程变为$\frac{150}{x}-\frac{80}{x}=1$，即$\frac{70}{x}=1$，解得$x = 70$。
检验：当$x = 70$时，$x\neq0$，$1.5x = 105\neq0$，所以$x = 70$是原方程的解。
答：这辆小汽车走普通公路的平均速度是70 km/h。
普通公路路程为150km，所用时间为$\frac{150}{x}$ h；高速公路路程为$150 - 30 = 120$km，所用时间为$\frac{120}{1.5x}$ h。
依题意，得$\frac{150}{x}-\frac{120}{1.5x}=1$。
化简$\frac{120}{1.5x}=\frac{80}{x}$，方程变为$\frac{150}{x}-\frac{80}{x}=1$，即$\frac{70}{x}=1$，解得$x = 70$。
检验：当$x = 70$时，$x\neq0$，$1.5x = 105\neq0$，所以$x = 70$是原方程的解。
答：这辆小汽车走普通公路的平均速度是70 km/h。
1.(数学文化)(2025·德阳)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为：一份文件,若用慢马送到800里远的城市,所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送,则所需时间比规定时间少2天,已知快马的速度是慢马的$\frac{5}{2}$倍,求规定时间。
设规定时间为x天,则下列分式方程正确的是(
A.$\frac{800}{x - 2} = \frac{5}{2}×\frac{800}{x + 1}$
B.$\frac{800}{x + 2} = \frac{5}{2}×\frac{800}{x - 1}$
C.$\frac{800}{x - 1} = \frac{2}{5}×\frac{800}{x + 2}$
D.$\frac{800}{x + 1} = \frac{5}{2}×\frac{800}{x - 2}$
设规定时间为x天,则下列分式方程正确的是(
A
)A.$\frac{800}{x - 2} = \frac{5}{2}×\frac{800}{x + 1}$
B.$\frac{800}{x + 2} = \frac{5}{2}×\frac{800}{x - 1}$
C.$\frac{800}{x - 1} = \frac{2}{5}×\frac{800}{x + 2}$
D.$\frac{800}{x + 1} = \frac{5}{2}×\frac{800}{x - 2}$
答案
A
解析
设规定时间为$x$天，慢马送达所需时间为$x + 1$天，快马送达所需时间为$x - 2$天。
慢马速度为$\frac{800}{x + 1}$，快马速度为$\frac{800}{x - 2}$。
根据题意，快马速度是慢马的$\frac{5}{2}$倍，因此分式方程为：
$\frac{800}{x - 2} = \frac{5}{2} × \frac{800}{x + 1}$。
慢马速度为$\frac{800}{x + 1}$，快马速度为$\frac{800}{x - 2}$。
根据题意，快马速度是慢马的$\frac{5}{2}$倍，因此分式方程为：
$\frac{800}{x - 2} = \frac{5}{2} × \frac{800}{x + 1}$。
2. 用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行60m比赛,已知甲型赛车的平均速度为2.5m/s,练习中发现,两辆车同时从起点出发,甲型赛车到达终点时,乙型赛车离终点还差2.4m.
(1)求乙型赛车的平均速度；
(2)如果两车重新开始比赛时,甲型赛车从起点处向后退了一定距离,且与乙型赛车同时出发,最后同时到达终点,则甲型赛车从起点后退的距离为
(1)求乙型赛车的平均速度；
(2)如果两车重新开始比赛时,甲型赛车从起点处向后退了一定距离,且与乙型赛车同时出发,最后同时到达终点,则甲型赛车从起点后退的距离为
2.5
m.答案
(1)设乙型赛车的平均速度为$v$ m/s。
甲型赛车跑60m所用时间为$\frac{60}{2.5}$ s，乙型赛车在该时间内跑了$60 - 2.4 = 57.6$ m，其所用时间为$\frac{57.6}{v}$ s。
依题意，得$\frac{60}{2.5} = \frac{57.6}{v}$。
解得$v = 2.4$。
经检验，$v = 2.4$是原方程的解。
(2)设甲型赛车从起点后退的距离为$x$ m。
甲型赛车跑的路程为$(60 + x)$ m，时间为$\frac{60 + x}{2.5}$ s；乙型赛车跑60m，时间为$\frac{60}{2.4}$ s。
依题意，得$\frac{60 + x}{2.5} = \frac{60}{2.4}$。
解得$x = 2.5$。
(1)2.4m/s
(2)2.5
甲型赛车跑60m所用时间为$\frac{60}{2.5}$ s，乙型赛车在该时间内跑了$60 - 2.4 = 57.6$ m，其所用时间为$\frac{57.6}{v}$ s。
依题意，得$\frac{60}{2.5} = \frac{57.6}{v}$。
解得$v = 2.4$。
经检验，$v = 2.4$是原方程的解。
(2)设甲型赛车从起点后退的距离为$x$ m。
甲型赛车跑的路程为$(60 + x)$ m，时间为$\frac{60 + x}{2.5}$ s；乙型赛车跑60m，时间为$\frac{60}{2.4}$ s。
依题意，得$\frac{60 + x}{2.5} = \frac{60}{2.4}$。
解得$x = 2.5$。
(1)2.4m/s
(2)2.5
1. 一艘轮船顺水航行100km后返回,返回时用同样的时间只航行了80km,若列方程$\frac{100}{x + 25} = \frac{80}{x - 25}$表示题中的等量关系,则关于方程中x和25这两个量的描述正确的是(
A.x表示轮船在静水中的速度为x km/h
B.x表示水流速度为x km/h
C.25表示轮船在静水中的速度为25 km/h
D.25表示轮船顺水航行速度为25 km/h
A
)A.x表示轮船在静水中的速度为x km/h
B.x表示水流速度为x km/h
C.25表示轮船在静水中的速度为25 km/h
D.25表示轮船顺水航行速度为25 km/h
答案
A
解析
设轮船在静水中的速度为$v$ km/h，水流速度为25 km/h（题中方程含25，可推测其为水流速度且与$x$相关联）。
顺水速度为$v + 25$，逆水速度为$v - 25$。题目中用同样的时间，顺水航行100km与逆水航行80km，时间相等可列方程：
$\frac{100}{v + 25} = \frac{80}{v - 25}$，
与题目所给方程$\frac{100}{x + 25} = \frac{80}{x - 25}$对比，可知$x$表示轮船在静水中的速度。
25表示水流速度为25km/h（但选项无此描述），而选项关注$x$和25的表示含义，选项A描述$x$为轮船在静水中的速度，符合。
顺水速度为$v + 25$，逆水速度为$v - 25$。题目中用同样的时间，顺水航行100km与逆水航行80km，时间相等可列方程：
$\frac{100}{v + 25} = \frac{80}{v - 25}$，
与题目所给方程$\frac{100}{x + 25} = \frac{80}{x - 25}$对比，可知$x$表示轮船在静水中的速度。
25表示水流速度为25km/h（但选项无此描述），而选项关注$x$和25的表示含义，选项A描述$x$为轮船在静水中的速度，符合。
2. 从甲站到乙站的距离是353km,乘坐某动车组列车将比乘坐普通快车节省1h40min. 已知该动车组的平均速度比普通快车速度快80km/h,设该动车组的平均速度为x km/h,根据题意列方程正确的是(
A.$\frac{353}{x - 80} - \frac{353}{x} = 1.4$
B.$\frac{353}{x - 80} - \frac{353}{x} = \frac{5}{3}$
C.$\frac{353}{x} - \frac{353}{x + 80} = \frac{5}{3}$
D.$\frac{353}{x} - \frac{353}{x - 80} = \frac{5}{3}$
B
)A.$\frac{353}{x - 80} - \frac{353}{x} = 1.4$
B.$\frac{353}{x - 80} - \frac{353}{x} = \frac{5}{3}$
C.$\frac{353}{x} - \frac{353}{x + 80} = \frac{5}{3}$
D.$\frac{353}{x} - \frac{353}{x - 80} = \frac{5}{3}$
答案
B
解析
设动车组平均速度为$x$ km/h，则普通快车速度为$(x - 80)$ km/h。
动车组所用时间为$\frac{353}{x}$，普通快车所用时间为$\frac{353}{x - 80}$。
时间节省量为$1$小时$40$分钟，即$\frac{5}{3}$小时。
因此，列方程为：
$\frac{353}{x - 80} - \frac{353}{x} = \frac{5}{3}$
动车组所用时间为$\frac{353}{x}$，普通快车所用时间为$\frac{353}{x - 80}$。
时间节省量为$1$小时$40$分钟，即$\frac{5}{3}$小时。
因此，列方程为：
$\frac{353}{x - 80} - \frac{353}{x} = \frac{5}{3}$
