23. (本题满分13分)
在等边$\triangle ABC$的两边$AB$，$AC$所在直线上分别有两点$M$，$N$，$D$为$\triangle ABC$外一点，且$\angle MDN = 60^{\circ}$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，$BD = DC$。探究：当$M$，$N$分别在直线$AB$，$AC$上移动时，$BM$，$NC$，$MN$之间的数量关系，$\triangle AMN$的周长$Q$与等边$\triangle ABC$的周长$L$的关系。
(1) 如图(1)，当点$M$，$N$在边$AB$，$AC$上，且$DM = DN$时，$BM$，$NC$，$MN$之间的数量关系是，此时$\frac{Q}{L} =$。
(2) 如图(2)，点$M$，$N$在边$AB$，$AC$上，且当$DM \neq DN$时，(1)问中的两个结论还成立吗？若成立，请直接写出你的结论；若不成立，请说明理由。
(3) 如图(3)，当$M$，$N$分别在边$AB$，$CA$的延长线上时，探索$BM$，$NC$，$MN$之间的数量关系，并给出证明。

(1)
$BM + NC = MN$；
$\frac{2}{3}$
(2)
两个结论仍然成立，即$BM + NC = MN$，$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$。
(3)
$NC - BM = MN$。
证明：
延长$AC$至$E$，使$CE = BM$，连接$DE$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle ABC=\angle ACB = \angle BAC=60^{\circ}$，$AB = BC = AC$。
因为$BD = DC$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，
所以$\angle DBC=\angle DCB = 30^{\circ}$。
则$\angle ABD=\angle ACD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDM$和$\triangle CDE$中，
$BD = DC$，$\angle DBM=\angle DCE = 90^{\circ}$，$BM = CE$，
所以$\triangle BDM\cong\triangle CDE(SAS)$。
所以$DM = DE$，$\angle BDM=\angle CDE$。
因为$\angle MDN = 60^{\circ}$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，
所以$\angle BDM+\angle NDC = 60^{\circ}$，
则$\angle CDE+\angle NDC = 60^{\circ}$，即$\angle NDE = 60^{\circ}$。
在$\triangle MDN$和$\triangle EDN$中，
$DM = DE$，$\angle MDN=\angle EDN = 60^{\circ}$，$DN = DN$，
所以$\triangle MDN\cong\triangle EDN(SAS)$。
所以$MN = NE$。
因为$NE=NC - CE$，$CE = BM$，
所以$NC - BM = MN$。