在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，D 为 BC 边上一点，且 BC = nCD，CE⊥AD 于点 E。
(1)如图 1，若 n = 2.求$\frac{DE}{AE}$的值；

(2)如图 2，n = 2，延长 BE 交 AC 于点 G.求$\frac{AG}{CG}$的值；

(3)如图 3，n = 2，延长 CE 交 AB 于点 F.求$\frac{BF}{AF}$的值；

(4)如图 4，在(3)的条件下，求$\frac{CF}{AD}$的值；

(5)如图 5，延长 BE 交 AC 于点 G，当 G 为 AC 的中点时，求 n 的值.

(1)1/4；(2)2；(3)1/2；(4)2/3；(5)(1+√5)/2

(1)设CD=x，BC=AC=2x，AD=√(AC²+CD²)=√5x。由射影定理得AC²=AE·AD，CD²=DE·AD，即(2x)²=AE·√5x，x²=DE·√5x，解得AE=4x/√5，DE=x/√5，故DE/AE=1/4。
(2)建立坐标系，C(0,0)，A(0,2x)，B(2x,0)，D(x,0)。AD：y=-2m+2x，CE：y=(1/2)m，交点E(4x/5,2x/5)。BE斜率=-1/3，方程y=-1/3(m-2x)，交AC(m=0)于G(0,2x/3)。AG=4x/3，CG=2x/3，AG/CG=2。
(3)AB：y=-m+2x，CE：y=(1/2)m，交点F(4x/3,2x/3)。BF=√[(-2x/3)²+(2x/3)²]=2x√2/3，AF=√[(4x/3)²+(-4x/3)²]=4x√2/3，BF/AF=1/2。
(4)CF=√[(4x/3)²+(2x/3)²]=2x√5/3，AD=√5x，CF/AD=2/3。
(5)设CD=x，BC=nx，A(0,nx)，B(nx,0)，D(x,0)。AD：y=-nm+nx，CE：y=m/n，交点E(n²x/(n²+1),nx/(n²+1))。BE方程交AC于G(0,nx/2)，由nx/(n²-n+1)=nx/2得n²-n-1=0，解得n=(1+√5)/2。