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一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，下列式子不一定成立的是(
A.$\sin A = \sin B$
B.$\cos A = \sin B$
C.$\sin A = \cos B$
D.$∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$
1. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，下列式子不一定成立的是(
A
)A.$\sin A = \sin B$
B.$\cos A = \sin B$
C.$\sin A = \cos B$
D.$∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$
答案
1. A
2. 在一张比例尺 $1:100$ 的建筑图纸上，量得某座楼的长是 6 分米. 这座楼实际的长与宽的比是 $3:1$，则这座楼实际的宽是(
A.40 米
B.20 米
C.30 米
D.10 米
B
)A.40 米
B.20 米
C.30 米
D.10 米
答案
2. B
解析
6分米=0.6米，实际长：$0.6÷\frac{1}{100}=60$米，实际宽：$60×\frac{1}{3}=20$米，答案选B。
3. 在相同时刻，物高与影长成正比. 如果高为 1.5 米的标杆影长为 2.5 米，那么影长为 30 米的旗杆的高为(
A.20 米
B.18 米
C.16 米
D.15 米
B
)A.20 米
B.18 米
C.16 米
D.15 米
答案
3. B
解析
设旗杆的高为$h$米。
因为物高与影长成正比，所以$\frac{1.5}{2.5}=\frac{h}{30}$
解得$h = \frac{1.5×30}{2.5}=18$
B
因为物高与影长成正比，所以$\frac{1.5}{2.5}=\frac{h}{30}$
解得$h = \frac{1.5×30}{2.5}=18$
B
4. 图中所示几何体的俯视图是(
D
)答案
4. D
5. 如图，$AB// CD$，$AC$，$BD$ 交于点 $O$，$BO = 7$，$DO = 3$，$AC = 25$，则 $AO$ 的长为(
A.10
B.12.5
C.15
D.17.5
D
)A.10
B.12.5
C.15
D.17.5
答案
5. D
解析
证明：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，
∵BO=7，DO=3，AC=25，
设AO=x，则CO=25 - x，
∴$\frac{x}{25 - x}=\frac{7}{3}$，
解得x=17.5，
即AO=17.5。
D
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，
∵BO=7，DO=3，AC=25，
设AO=x，则CO=25 - x，
∴$\frac{x}{25 - x}=\frac{7}{3}$，
解得x=17.5，
即AO=17.5。
D
6. 如图，$O$ 是 $△ ABC$ 的边 $AC$ 上一点，$\odot O$ 交 $CA$ 于点 $D$，且过点 $C$，$AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$，若 $∠ A = 30^{\circ}$，则 $∠ C$ 的大小是(
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A
)A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
6. A
解析
证明：连接 $OB$。
∵ $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$，
∴ $OB ⊥ AB$，即 $∠ ABO = 90°$。
∵ $∠ A = 30°$，
∴ $∠ AOB = 180° - ∠ A - ∠ ABO = 180° - 30° - 90° = 60°$。
∵ $OC = OB$，
∴ $△ OBC$ 是等腰三角形，$∠ OBC = ∠ C$。
∵ $∠ AOB$ 是 $△ OBC$ 的外角，
∴ $∠ AOB = ∠ OBC + ∠ C = 2∠ C$。
∴ $2∠ C = 60°$，解得 $∠ C = 30°$。
答案：A
∵ $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$，
∴ $OB ⊥ AB$，即 $∠ ABO = 90°$。
∵ $∠ A = 30°$，
∴ $∠ AOB = 180° - ∠ A - ∠ ABO = 180° - 30° - 90° = 60°$。
∵ $OC = OB$，
∴ $△ OBC$ 是等腰三角形，$∠ OBC = ∠ C$。
∵ $∠ AOB$ 是 $△ OBC$ 的外角，
∴ $∠ AOB = ∠ OBC + ∠ C = 2∠ C$。
∴ $2∠ C = 60°$，解得 $∠ C = 30°$。
答案：A
7. 已知 $△ ABC∽△ DEF$，且 $△ ABC$ 的三边长分别为 4，5，6，$△ DEF$ 的一边长为 2，则 $△ DEF$ 的周长为(
A.7.5
B.6
C.5 或 6
D.5 或 6 或 7.5
D
)A.7.5
B.6
C.5 或 6
D.5 或 6 或 7.5
答案
7. D
解析
$△ABC$的周长为$4+5+6=15$。
情况1：若$△DEF$中长为2的边对应$△ABC$中长为4的边，相似比为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，则$△DEF$的周长为$15×\frac{1}{2}=7.5$。
情况2：若$△DEF$中长为2的边对应$△ABC$中长为5的边，相似比为$\frac{2}{5}$，则$△DEF$的周长为$15×\frac{2}{5}=6$。
情况3：若$△DEF$中长为2的边对应$△ABC$中长为6的边，相似比为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，则$△DEF$的周长为$15×\frac{1}{3}=5$。
综上，$△DEF$的周长为5或6或7.5。
D
情况1：若$△DEF$中长为2的边对应$△ABC$中长为4的边，相似比为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，则$△DEF$的周长为$15×\frac{1}{2}=7.5$。
情况2：若$△DEF$中长为2的边对应$△ABC$中长为5的边，相似比为$\frac{2}{5}$，则$△DEF$的周长为$15×\frac{2}{5}=6$。
情况3：若$△DEF$中长为2的边对应$△ABC$中长为6的边，相似比为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，则$△DEF$的周长为$15×\frac{1}{3}=5$。
综上，$△DEF$的周长为5或6或7.5。
D
8. 在反比例函数 $y = \frac{4 - k}{x}$ 的图象上有两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，当 $x_1 ＜ 0 ＜ x_2$ 时，有 $y_1 ＜ y_2$，则 $k$ 的取值范围是(
A.$k ＜ 0$
B.$k ＞ 0$
C.$k ＜ 4$
D.$k ＞ 4$
C
)A.$k ＜ 0$
B.$k ＞ 0$
C.$k ＜ 4$
D.$k ＞ 4$
答案
8. C
解析
∵点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y = \frac{4 - k}{x}$的图象上，
$\therefore y_1=\frac{4 - k}{x_1}$，$y_2=\frac{4 - k}{x_2}$。
$\because x_1 ＜ 0 ＜ x_2$，
$\therefore x_1$为负数，$x_2$为正数。
当$4 - k＞0$，即$k＜4$时，
$y_1=\frac{4 - k}{x_1}$为负数，$y_2=\frac{4 - k}{x_2}$为正数，满足$y_1 ＜ y_2$；
当$4 - k＜0$，即$k＞4$时，
$y_1=\frac{4 - k}{x_1}$为正数，$y_2=\frac{4 - k}{x_2}$为负数，此时$y_1＞y_2$，不满足条件。
综上，$k$的取值范围是$k＜4$。
C
