1.如图,点$P$是$\triangle ABC$的$AB$边上的一点.下列条件中,不可能判定$\triangle ACP\sim\triangle ABC$的是().

A.$\angle ACP=\angle B$
B.$AP· BC=AC· PC$
C.$\angle APC=\angle ACB$
D.$AC^{2}=AP· AB$

B

选项A:当$\angle ACP=\angle B$时，结合$\angle A= \angle A$，
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似可得出$\triangle ACP\sim\triangle ABC$，
故A不符合题意。
选项B:当$AP· BC=AC· PC$时，变形得$\frac{AP}{AC}=\frac{PC}{BC}$，
虽然$\angle A$是公共角，但是$AC$不是$\angle A$的对边，
不能得出三角形相似，
故B符合题意。
选项C:当$\angle APC=\angle ACB$时，结合$\angle A= \angle A$，
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似可得出$\triangle ACP\sim\triangle ABC$，
故C不符合题意。
选项D:当$AC^{2}=AP· AB$时，即$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，
再根据$\angle A= \angle A$，
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得出$\triangle ACP\sim\triangle ABC$，
故D不符合题意。

2.如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为$2:5$,且三角板的一边长为$8\mathrm{cm}$,则投影三角板的对应边长为().

A.$20\mathrm{cm}$
B.$10\mathrm{cm}$
C.$8\mathrm{cm}$
D.$3.2\mathrm{cm}$

A

题目中给出三角板与其投影的相似比为$2:5$，即三角板的一边长与投影三角板对应边长的比为$2:5$。已知三角板的一边长为$8 \mathrm{cm}$，设投影三角板的对应边长为$x \mathrm{cm}$，则根据相似比可以列出方程：
$\frac{2}{5} = \frac{8}{x}$，
解这个方程，可以得到：
$x = \frac{8 × 5}{2} = 20$，
因此，投影三角板的对应边长为$20 \mathrm{cm}$。

3.如图,将$\triangle ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$\triangle A'B'C'$的位置,已知$\triangle ABC$的面积为$16$,阴影部分三角形的面积为$9$,若$AA'=1$,则$A'D=$().

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$\frac{3}{2}$

B

设$A'D = x$，$AD$为$\triangle ABC$的中线，沿$AD$平移后$A'$在$AD$上，$AA' = 1$，则$AD = AA' + A'D = 1 + x$。
阴影三角形与$\triangle ABC$相似（平移后对应边平行，得相似），面积比为$9:16$，则相似比为$3:4$。
相似比等于对应高的比，即$\frac{A'D}{AD} = \frac{3}{4}$（$A'D$、$AD$分别为两三角形对应高，夹角相同）。
故$\frac{x}{1 + x} = \frac{3}{4}$，解得$x = 3$。

4.如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为$1$,$\triangle ABC$的面积为$42$,则四边形$DBCE$的面积是().

A.$20$
B.$22$
C.$24$
D.$26$

D

设最小三角形面积为1，△ADE面积为S，△ABC面积为42，四边形DBCE面积为x，则S=42-x。因所有三角形相似，设最小三角形与△ADE相似比为k，面积比k²=1/S，故S=1/k²。△ADE与△ABC相似，面积比S/42=(相似比)²，设相似比为m，故m²=S/42。最小三角形与△ABC相似比为km，面积比(km)²=1/42，即(k²m²)=1/42，代入得(1/S)(S/42)=1/42，恒成立。结合选项，当x=26时，S=16，此时最小三角形与△ADE面积比1/16，相似比1/4，符合相似三角形性质。故四边形DBCE面积为26。