12.(7分)已知$2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 3$，求$2x^{4}y^{3} - x^{3}y^{4}$的值.

答题卡：
首先，我们观察目标表达式 $2x^{4}y^{3} - x^{3}y^{4}$，发现可以提取公因式 $x^{3}y^{3}$：
$2x^{4}y^{3} - x^{3}y^{4} = x^{3}y^{3}(2x - y)$
接着，我们利用已知条件 $2x - y = \frac{1}{3}$ 和 $xy = 3$ 进行代入。
注意到 $x^{3}y^{3} = (xy)^{3}$，所以：
$x^{3}y^{3}(2x - y) = (xy)^{3} × (2x - y)$
$= 3^{3} × \frac{1}{3}$
$= 27 × \frac{1}{3}$
$= 9$
故答案为：9。

13.(7分)求证：当$n$为整数时，$n^{2} + n$必能被2整除.

证明：
$n^2 + n = n(n + 1)$
当$n$为整数时，$n$与$n + 1$是两个连续整数，
连续整数中必有一个是偶数，
即$n$与$n + 1$中至少有一个能被2整除，
因此$n(n + 1)$能被2整除，
故$n^2 + n$必能被2整除.

14.(8分)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个正整数的积$N$能否表示为$x^{2} - x$（$x$为正整数）”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下($n$为正整数)：
按下表中规律解答下列问题：
①$6×7 = ( )^{2} -$
②$n(n + 1) =$(用含$n$的式子表示)。
③证明②中的结论.

(2)兴趣小组还猜测：像$1×4$，$2×5$，$3×6$，$4×7$，⋯这些形如$n(n + 3)$（$n$为正整数）的正整数$N$不能表示为$x^{2} - x$（$x$为正整数）.师生一起研讨，分析过程如下：
假设$n(n + 3) = x^{2} - x$，其中$x$为正整数.
分下列两种情形分析：
①若$x$为奇数，设$x = 2k + 1$，其中$k$为正整数，
则$x^{2} - x = (2k + 1)^{2} - (2k + 1) = 4k^{2} + 4k + 1 - 2k - 1 = 4k^{2} + 2k = 2k(2k + 1)$为相邻两个正整数的积，矛盾.故$x$不可能为奇数.
②若$x$为偶数，设$x = 2k$，其中$k$为正整数，
则$x^{2} - x = (2k)^{2} - 2k =$为相邻两个正整数的积，矛盾.故$x$不可能为偶数.
由①②可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

(1) ① $7^2 - 7$
② $(n + 1)^2 - (n + 1)$
(2) $2k(2k - 1)$

(1)
① $6 × 7 = 7^2 - 7$
② $n(n + 1) = (n + 1)^2 - (n + 1)$
③ 证明：
右边 $= (n + 1)^2 - (n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n - 1 = n^2 + n = n(n + 1) =$ 左边
所以 $n(n + 1) = (n + 1)^2 - (n + 1)$ 成立。
(2)
$x^2 - x = (2k)^2 - 2k = 4k^2 - 2k = 2k(2k - 1)$
最终