1.如图,一架梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子$AB$的长是$3 m$.若梯子与地面的夹角为$\alpha$,则梯子顶端到地面的距离$CB$为()。


A.$3\sin\alpha m$
B.$3\cos\alpha m$
C.$\frac{3}{\sin\alpha} m$
D.$\frac{3}{\cos\alpha} m$

A

根据题意，梯子 $ AB $ 的长度为 3 米，与地面的夹角为 $ \alpha $。
在直角三角形 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = \alpha $，$ AB = 3 $ 米。
根据正弦函数的定义，$ \sin \alpha = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} $。
因此，$ BC = AB · \sin \alpha = 3 · \sin \alpha $ 米。
所以，梯子顶端到地面的距离 $ BC $ 为 $ 3 \sin \alpha $ 米。

2.如图,长$4 m$的楼梯$AB$的倾斜角$\angle ABD$为$60°$,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使倾斜角$\angle ACD$为$45°$,则调整后的楼梯$AC$的长为()。


A.$2\sqrt{3} m$
B.$2\sqrt{6} m$
C.$(2\sqrt{3}-2) m$
D.$(2\sqrt{6}-2) m$

B

在Rt△ABD中，∠ABD=60°，AB=4m，sin60°=AD/AB，AD=AB·sin60°=4×(√3/2)=2√3 m。在Rt△ACD中，∠ACD=45°，sin45°=AD/AC，AC=AD/sin45°=2√3/(√2/2)=2√6 m。

3.如图,在离铁塔$150 m$的$A$处,用测倾仪测得塔顶的仰角为$\alpha$,测倾仪高$AD$为$1.5 m$,则铁塔的高$BC$为()。


A.$(1.5+150\tan\alpha) m$
B.$\left(1.5+\frac{150}{\tan\alpha}\right) m$
C.$(1.5+150\sin\alpha) m$
D.$\left(1.5+\frac{150}{\sin\alpha}\right) m$

A

根据题意, 在点 $A$ 处测得铁塔顶的仰角为 $\alpha$, 测倾仪高 $AD$ 为 $1.5m$, $A$ 处到铁塔底 $C$ 的水平距离为 $150m$。
过点 $A$ 作 $AE$ 垂直于 $BC$ 于点 $E$，则 $\angle BAE = \alpha$，且 $AE = 150m$。
在直角三角形 $\triangle ABE$ 中, 有 $\tan\alpha = \frac{BE}{AE}$。
因此，$BE = AE · \tan\alpha = 150 · \tan\alpha$。
铁塔的高度 $BC$ 为：
$BC = BE + EC = BE + AD = (1.5 + 150 · \tan\alpha) \, m$。
故答案为选项 A。