11.(8分)计算.
(1)$(a^{2}+3a)÷\frac{a^{2}-9}{a-3}$
(2)$\frac{a}{a+1}÷\frac{a^{2}-a}{a^{2}-1}$

(1)
$\begin{aligned}&(a^{2}+3a)÷\frac{a^{2}-9}{a-3}\\=&a(a + 3) × \frac{a - 3}{(a + 3)(a - 3)}\\=&a(a + 3) × \frac{1}{a + 3}\\=&a\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{a}{a+1}÷\frac{a^{2}-a}{a^{2}-1}\\=&\frac{a}{a + 1} × \frac{(a + 1)(a - 1)}{a(a - 1)}\\=&\frac{a}{a + 1} × \frac{a + 1}{a}\\=&1\end{aligned}$

12.(7分)先化简$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4x+4}÷(x-1)·\frac{x+2}{x+1}$,再找一个喜欢的数值代入求值.

化简结果为 $ \frac{1}{x+2} $，当 $ x=0 $ 时，值为 $ \frac{1}{2} $。

化简过程：
1. 分解因式：
$ x^2 - 1 = (x+1)(x-1) $，
$ x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 $。
2. 代入原式并转化除法为乘法：
$ \frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} ÷ (x-1) · \frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x+2}{x+1} $
3. 约分：
分子分母约去 $ (x+1) $、$ (x-1) $、$ (x+2) $，得：
$ \frac{1}{x+2} $
代入求值：
取 $ x = 0 $（$ x \neq -2, -1, 1 $），
原式 $ = \frac{1}{0+2} = \frac{1}{2} $。

13.(7分)已知$x+\frac{1}{x}=3$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.

$\frac{1}{8}$

因为$x + \frac{1}{x} = 3$，
所以$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 = 9$，
即$x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，
化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，
故$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$。
设$A = \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$，则$\frac{1}{A} = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$，
将$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$代入，得$\frac{1}{A} = 7 + 1 = 8$，
所以$A = \frac{1}{8}$。

14.(8分)已知$x^{2}-10x+25+|y+3|=0$,求$(x+y)(x^{2}+y^{2})÷\frac{x^{4}-y^{4}}{y-1}$的值.

$-\frac{1}{2}$

由$x^{2}-10x + 25+\vert y + 3\vert=0$，得$(x - 5)^{2}+\vert y + 3\vert=0$。
∵$(x - 5)^{2}\geq0$，$\vert y + 3\vert\geq0$，
∴$x - 5 = 0$，$y + 3 = 0$，解得$x = 5$，$y=-3$。
原式$=(x + y)(x^{2}+y^{2})÷\frac{x^{4}-y^{4}}{y - 1}$
$=(x + y)(x^{2}+y^{2})·\frac{y - 1}{x^{4}-y^{4}}$
∵$x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=(x - y)(x + y)(x^{2}+y^{2})$，
∴原式$=(x + y)(x^{2}+y^{2})·\frac{y - 1}{(x - y)(x + y)(x^{2}+y^{2})}$
$=\frac{y - 1}{x - y}$。
将$x = 5$，$y=-3$代入，得
$\frac{-3 - 1}{5 - (-3)}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$。