1.解方程.
(1) $\frac{4}{x}=\frac{2}{x-1}$.
(2) $\frac{1}{1-x}+\frac{x}{x-1}=-1$.
(3) $\frac{2}{x-1}=\frac{1}{2x-2}+1$.
(4) $\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}=0$.
(5) $\frac{2x}{x+3}=2+\frac{1}{x-1}$.
(6) $\frac{x+1}{4x^2-1}=$$=\frac{3}{2x+1}-\frac{2}{2x-1}$.

(1)$x=2$.
(2)无解.
(3)$x=\frac{5}{2}$.
(4)$x=3$.
(5)$x=\frac{3}{7}$.
(6)$x=6$.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：1. 先对各分母因式分解，找到所有分母的最简公分母，同时确定分母不为0的未知数取值范围；2. 方程两边同时乘最简公分母，去掉分母得到整式方程；3. 解整式方程得到未知数的解；4. 必须检验：将得到的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则该解是增根，原方程无解，若不为0，则该解是原分式方程的解。
【解析】
(1) 方程$\frac{4}{x}=\frac{2}{x-1}$的最简公分母为$x(x-1)$（$x≠0$且$x≠1$），
两边同乘$x(x-1)$得：$4(x-1)=2x$，
展开得：$4x-4=2x$，
移项合并同类项得：$2x=4$，
解得：$x=2$，
检验：当$x=2$时，$x(x-1)=2×1=2≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(2) 先整理方程$\frac{1}{1-x}+\frac{x}{x-1}=-1$，变形为$-\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-1}=-1$，
最简公分母为$x-1$（$x≠1$），
两边同乘$x-1$得：$-1+x=-(x-1)$，
整理得：$x-1=-x+1$，
移项合并同类项得：$2x=2$，
解得：$x=1$，
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
(3) 先整理分母：$2x-2=2(x-1)$，方程$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{2x-2}+1$的最简公分母为$2(x-1)$（$x≠1$），
两边同乘$2(x-1)$得：$2×2=1+2(x-1)$，
展开得：$4=1+2x-2$，
整理得：$4=2x-1$，
移项合并同类项得：$2x=5$，
解得：$x=\frac{5}{2}$，
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$2(x-1)=2×(\frac{3}{2})=3≠0$，故$x=\frac{5}{2}$是原方程的解。
(4) 先因式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程$\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}=0$的最简公分母为$(x+1)(x-1)$（$x≠\pm1$），
两边同乘$(x+1)(x-1)$得：$2-(x-1)=0$，
展开得：$2-x+1=0$，
整理得：$3-x=0$，
解得：$x=3$，
检验：当$x=3$时，$(3+1)(3-1)=8≠0$，故$x=3$是原方程的解。
(5) 方程$\frac{2x}{x+3}=2+\frac{1}{x-1}$的最简公分母为$(x+3)(x-1)$（$x≠-3$且$x≠1$），
两边同乘$(x+3)(x-1)$得：$2x(x-1)=2(x+3)(x-1)+(x+3)$，
展开左右两边：左边=$2x^2-2x$，右边=$2(x^2+2x-3)+x+3=2x^2+5x-3$，
消去两边$2x^2$得：$-2x=5x-3$，
移项合并同类项得：$-7x=-3$，
解得：$x=\frac{3}{7}$，
检验：当$x=\frac{3}{7}$时，$(x+3)(x-1)=(\frac{24}{7})×(-\frac{4}{7})≠0$，故$x=\frac{3}{7}$是原方程的解。
(6) 先因式分解分母：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$，方程$\frac{x+1}{4x^2-1}=\frac{3}{2x+1}-\frac{2}{2x-1}$的最简公分母为$(2x+1)(2x-1)$（$x≠\pm\frac{1}{2}$），
两边同乘$(2x+1)(2x-1)$得：$x+1=3(2x-1)-2(2x+1)$，
展开右边得：$x+1=6x-3-4x-2$，
整理得：$x+1=2x-5$，
移项合并同类项得：$x=6$，
检验：当$x=6$时，$(2×6+1)(2×6-1)=13×11≠0$，故$x=6$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=2$；
(2)无解；
(3)$x=\frac{5}{2}$；
(4)$x=3$；
(5)$x=\frac{3}{7}$；
(6)$x=6$。
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，整式方程求解
【点评】
本组题目是分式方程求解的基础题型，覆盖了分式方程求解的常见情况，解题时要注意先确定最简公分母，去分母时不要漏乘常数项，同时务必牢记解后检验，排除增根，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7

2.解关于x的分式方程.
(1)$\frac{1}{x-1} - a = 1(a≠-1)$.
(2)$\frac{a}{x-2} - \frac{1}{x+1} = 0(a≠1且a≠0)$.

(1)$x=\frac{a+2}{a+1}$.
(2)$x=\frac{a+2}{1-a}$.

【分析】
解含参数的分式方程的核心思路遵循分式方程的常规解法：第一步去分母，将分式方程转化为整式方程；第二步求解整式方程，注意利用题目给出的参数限制条件，保证未知数系数不为0，可直接系数化1；第三步检验所得的解是否使原方程所有分母不为0，排除增根。
第(1)题分母为x-1，最简公分母是x-1，两边同乘最简公分母即可去分母，结合a≠-1的条件求解后检验即可；第(2)题两个分母分别是x-2和x+1，最简公分母是(x-2)(x+1)，去分母后结合a≠1且a≠0的条件求解后检验即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{1}{x-1} - a = 1(a≠-1)$
① 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，注意$x≠1$，得：
$1 - a(x-1) = x - 1$
② 展开并整理整式方程：
$1 - ax + a = x - 1$
移项，将含x的项移到等号右侧，常数项移到等号左侧：
$1 + a + 1 = x + ax$
合并同类项：
$a + 2 = x(a + 1)$
③ 系数化1：已知$a≠-1$，故$a+1≠0$，两边同时除以$(a+1)$得：
$x = \frac{a+2}{a+1}$
④ 检验：将$x = \frac{a+2}{a+1}$代入分母$x-1$，得$x-1 = \frac{a+2}{a+1} - 1 = \frac{1}{a+1}$，因$a≠-1$，故$x-1≠0$，所以$x = \frac{a+2}{a+1}$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{a}{x-2} - \frac{1}{x+1} = 0(a≠1且a≠0)$
① 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)(x+1)$，注意$x≠2$且$x≠-1$，得：
$a(x+1) - (x-2) = 0$
② 展开并整理整式方程：
$ax + a - x + 2 = 0$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧：
$ax - x = -a - 2$
合并同类项：
$x(a - 1) = -(a + 2)$
③ 系数化1：已知$a≠1$，故$a-1≠0$，两边同时除以$(a-1)$得：
$x = \frac{-(a+2)}{a-1} = \frac{a+2}{1-a}$
④ 检验：将$x = \frac{a+2}{1-a}$代入最简公分母$(x-2)(x+1)$，得$(x-2)(x+1)=\frac{3a}{1-a} · \frac{3}{1-a}$，因$a≠0$且$a≠1$，故公分母不为0，所以$x = \frac{a+2}{1-a}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=\frac{a+2}{a+1}$
(2)$x=\frac{a+2}{1-a}$
【知识点】
解分式方程，含参数整式方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是含参数的分式方程基础题型，考查分式方程的常规求解步骤，解题时要注意利用题目给出的参数限制条件，避免出现除以0的错误，最后务必检验所得的解是否为原分式方程的增根。
【难度系数】
0.7