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5. 某工业园区对甲、乙两个项目共投资2000万元。甲项目的年收益率为5.4%，乙项目的年收益率为8.28%，投资一年后，该工业园区在这两个项目中一共获得收益122.4万元。问：该工业园区对这两个项目各投资了多少万元？
答案
5. 设该工业园区对甲项目投资了 $x$ 万元,则对乙项目投资了$(2\ 000-x)$万元,由题意,得 $5.4\%x+8.28\%(2\ 000-x)=122.4$,解得 $x=1\ 500$。所以投资甲项目1 500万元,乙项目500万元。
解析
【分析】
这是收益类实际应用题，解题核心是找准等量关系列方程。首先明确两个核心数量关系：①总投资额=甲项目投资额+乙项目投资额，已知总投资2000万元，因此设甲项目投资x万元时，乙项目投资额可直接用(2000-x)表示，无需增设未知数；②总收益=甲项目收益+乙项目收益，单个项目收益=投资额×年收益率，结合总收益为122.4万元的条件，即可列出一元一次方程，求解后就能得到两个项目的投资额。
【解析】
解：设该工业园区对甲项目投资了$x$万元，则对乙项目投资了$(2000-x)$万元。
根据总收益的等量关系列方程：
$5.4\%x + 8.28\%(2000-x) = 122.4$
将百分数转化为小数展开计算：
$0.054x + 165.6 - 0.0828x = 122.4$
移项合并同类项：
$-0.0288x = 122.4 - 165.6$
$-0.0288x = -43.2$
系数化为1：
$x = 1500$
则乙项目投资额为：$2000 - 1500 = 500$（万元）
【答案】
该工业园区对甲项目投资1500万元，对乙项目投资500万元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 收益率问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清题目中的数量逻辑，掌握列方程解应用题的基本步骤，计算时注意百分数与小数的转化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这是收益类实际应用题，解题核心是找准等量关系列方程。首先明确两个核心数量关系：①总投资额=甲项目投资额+乙项目投资额，已知总投资2000万元，因此设甲项目投资x万元时，乙项目投资额可直接用(2000-x)表示，无需增设未知数；②总收益=甲项目收益+乙项目收益，单个项目收益=投资额×年收益率，结合总收益为122.4万元的条件，即可列出一元一次方程，求解后就能得到两个项目的投资额。
【解析】
解：设该工业园区对甲项目投资了$x$万元，则对乙项目投资了$(2000-x)$万元。
根据总收益的等量关系列方程：
$5.4\%x + 8.28\%(2000-x) = 122.4$
将百分数转化为小数展开计算：
$0.054x + 165.6 - 0.0828x = 122.4$
移项合并同类项：
$-0.0288x = 122.4 - 165.6$
$-0.0288x = -43.2$
系数化为1：
$x = 1500$
则乙项目投资额为：$2000 - 1500 = 500$（万元）
【答案】
该工业园区对甲项目投资1500万元，对乙项目投资500万元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 收益率问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清题目中的数量逻辑，掌握列方程解应用题的基本步骤，计算时注意百分数与小数的转化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 由于换季，商场准备对某商品打折出售。如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为
300
元。答案
6. 300
解析
【分析】
这是一道打折销售类的一元一次方程应用题，解题核心是找到题目中的不变量（商品的进价）作为等量关系。我们可以先设该商品的原售价为未知数，再分别根据“七五折出售亏损25元”和“九折出售盈利20元”两种情况表示出商品的进价，因为进价固定，两个表示进价的式子相等，据此列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设该商品的原售价为$ x $元。
根据商品进价不变的等量关系，可列方程：
$ 0.75x + 25 = 0.9x - 20 $
移项得：$ 25 + 20 = 0.9x - 0.75x $
合并同类项得：$ 45 = 0.15x $
系数化为1得：$ x = 45 ÷ 0.15 = 300 $
【答案】
300
【知识点】
一元一次方程的应用；打折销售问题
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题的关键是抓住进价不变这一隐含等量关系列方程，熟练掌握售价、成本、利润之间的关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
这是一道打折销售类的一元一次方程应用题，解题核心是找到题目中的不变量（商品的进价）作为等量关系。我们可以先设该商品的原售价为未知数，再分别根据“七五折出售亏损25元”和“九折出售盈利20元”两种情况表示出商品的进价，因为进价固定，两个表示进价的式子相等，据此列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设该商品的原售价为$ x $元。
根据商品进价不变的等量关系，可列方程：
$ 0.75x + 25 = 0.9x - 20 $
移项得：$ 25 + 20 = 0.9x - 0.75x $
合并同类项得：$ 45 = 0.15x $
系数化为1得：$ x = 45 ÷ 0.15 = 300 $
【答案】
300
【知识点】
一元一次方程的应用；打折销售问题
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题的关键是抓住进价不变这一隐含等量关系列方程，熟练掌握售价、成本、利润之间的关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
7. 七年级一班有30人会下象棋或围棋，已知只会下象棋的人数比只会下围棋的人数多5人，两种棋都会下的有17人。若设
只会下围棋
的人数为x，可列方程为$x+(x+5)+17=30$。答案
7. 只会下围棋
解析
【分析】
要确定设的是哪个量为x，首先理清会下象棋或围棋的30人的组成：一共分为三类，分别是只会下围棋的人、只会下象棋的人、两种棋都会下的人，三类人数之和等于总人数30。再看给出的方程$x+(x+5)+17=30$，其中17是两种都会下的人数，因此x和x+5对应只会下两种棋的人数。已知“只会下象棋的人数比只会下围棋的人数多5人”，说明较小的量是只会下围棋的人数，较大的量是只会下象棋的人数，因此x就是较少的只会下围棋的人数，x+5就是只会下象棋的人数，刚好匹配方程的结构。
【解析】
首先明确会下象棋或围棋的总人数的数量关系：
总人数 = 只会下围棋的人数 + 只会下象棋的人数 + 两种棋都会下的人数
已知两种棋都会下的有17人，只会下象棋的人数比只会下围棋的多5人。
观察方程$x+(x+5)+17=30$，其中17对应两种都会的人数，x是较小的未知量，对应只会下围棋的人数，x+5对应比它多5人的只会下象棋的人数，完全符合已知的数量关系，因此设的是只会下围棋的人数为x。
【答案】
只会下围棋
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分类计数
【点评】
本题属于一元一次方程应用的逆向考查，不需要解方程，只需理清总人数的组成和各数量间的大小关系，即可对应找到被设为x的量，解题关键是明确各部分量的含义。
【难度系数】
0.8
要确定设的是哪个量为x，首先理清会下象棋或围棋的30人的组成：一共分为三类，分别是只会下围棋的人、只会下象棋的人、两种棋都会下的人，三类人数之和等于总人数30。再看给出的方程$x+(x+5)+17=30$，其中17是两种都会下的人数，因此x和x+5对应只会下两种棋的人数。已知“只会下象棋的人数比只会下围棋的人数多5人”，说明较小的量是只会下围棋的人数，较大的量是只会下象棋的人数，因此x就是较少的只会下围棋的人数，x+5就是只会下象棋的人数，刚好匹配方程的结构。
【解析】
首先明确会下象棋或围棋的总人数的数量关系：
总人数 = 只会下围棋的人数 + 只会下象棋的人数 + 两种棋都会下的人数
已知两种棋都会下的有17人，只会下象棋的人数比只会下围棋的多5人。
观察方程$x+(x+5)+17=30$，其中17对应两种都会的人数，x是较小的未知量，对应只会下围棋的人数，x+5对应比它多5人的只会下象棋的人数，完全符合已知的数量关系，因此设的是只会下围棋的人数为x。
【答案】
只会下围棋
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分类计数
【点评】
本题属于一元一次方程应用的逆向考查，不需要解方程，只需理清总人数的组成和各数量间的大小关系，即可对应找到被设为x的量，解题关键是明确各部分量的含义。
【难度系数】
0.8
8. 如图，大、小两张正方形纸片放在桌子上，共遮住了桌面上$53\ \mathrm{cm}^2$的面积。若两张纸片重叠部分的面积为$5\ \mathrm{cm}^2$，且大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还大$4\ \mathrm{cm}^2$，求小正方形的面积。
答案
8. 设小正方形的面积为 $x(\mathrm{cm}^2)$,则 $2x+4+x=53+5$,解得 $x=18$。
解析
【分析】
解题时首先明确重叠放置的图形面积关系：两个正方形的面积之和减去重叠部分的面积，等于共遮住的桌面面积。我们可以设小正方形的面积为未知数，根据“大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还大$4\ \mathrm{cm}^2$”表示出大正方形的面积，再结合上述面积等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设小正方形的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则大正方形的面积为$(2x+4)\ \mathrm{cm}^2$。
根据等量关系：大正方形面积+小正方形面积-重叠面积=遮挡总面积，列方程：
$x + (2x + 4) - 5 = 53$
整理得：$3x - 1 = 53$
移项计算得：$3x = 54$
系数化为1得：$x = 18$
经检验，结果符合实际题意。
【答案】
$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用；重叠面积计算；等量关系构建
【点评】
本题属于方程结合几何重叠的基础应用题，解题核心是找准重叠场景下的面积等量关系，正确设未知数列方程求解，掌握此类数量关系后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确重叠放置的图形面积关系：两个正方形的面积之和减去重叠部分的面积，等于共遮住的桌面面积。我们可以设小正方形的面积为未知数，根据“大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还大$4\ \mathrm{cm}^2$”表示出大正方形的面积，再结合上述面积等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设小正方形的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则大正方形的面积为$(2x+4)\ \mathrm{cm}^2$。
根据等量关系：大正方形面积+小正方形面积-重叠面积=遮挡总面积，列方程：
$x + (2x + 4) - 5 = 53$
整理得：$3x - 1 = 53$
移项计算得：$3x = 54$
系数化为1得：$x = 18$
经检验，结果符合实际题意。
【答案】
$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用；重叠面积计算；等量关系构建
【点评】
本题属于方程结合几何重叠的基础应用题，解题核心是找准重叠场景下的面积等量关系，正确设未知数列方程求解，掌握此类数量关系后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
