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1. 如图,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,P 为直线 CD 上的一点. 若线段 PA 的长为 5,则线段 PB 的长为( )
A.8
B.7
C.6
D.5
A.8
B.7
C.6
D.5
答案
D
解析
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA=5。
D
2. (2024·凉山)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 D,连接 AD. 若△ACD 的周长为 50 cm,则 AC+BC 的长为( )
A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
答案
C
解析
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD。
∵△ACD的周长为50 cm，
∴AC+CD+AD=50 cm。
∵AD=BD，
∴AC+CD+BD=AC+BC=50 cm。
C
3. (2024·沭阳段考)如图,点 D 在△ABC 的边 BC 上. 若 BC= BD+AD,则点 D 在线段的垂直平分线上.
答案
AC
4. 如图,线段 AB 的垂直平分线与线段 BC 的垂直平分线的交点 P 恰好在 AC 上,且 AC= 10 cm,则点 B 到点 P 的距离为cm.
答案
5
解析
连接PA，PB，PC。
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB。
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB=PC。
∴PA=PB=PC。
∵P在AC上，AC=10 cm，
∴PA+PC=AC=10 cm。
又
∵PA=PC，
∴PA=PC=5 cm。
∴PB=5 cm。
5
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB。
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB=PC。
∴PA=PB=PC。
∵P在AC上，AC=10 cm，
∴PA+PC=AC=10 cm。
又
∵PA=PC，
∴PA=PC=5 cm。
∴PB=5 cm。
5
5. (2024·南充)如图,在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,过点 B 作 BE//AC,交 AD 的延长线于点 E.
(1) 求证:△BDE≌△CDA;
(2) 若 AD⊥BC,求证:BA= BE.
(1) 求证:△BDE≌△CDA;
(2) 若 AD⊥BC,求证:BA= BE.
答案
5.
(1)
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
∵BE//AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.在△BDE和△CDA中,∠EBD=∠C,∠E=∠CAD,BD=CD,
∴△BDE≌△CDA(AAS)
(2)
∵D为BC的中点,AD⊥BC,
∴直线AD为线段BC的垂直平分线,
∴BA=CA.由
(1),得△BDE≌△CDA,
∴BE=CA,
∴BA=BE
(1)
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
∵BE//AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.在△BDE和△CDA中,∠EBD=∠C,∠E=∠CAD,BD=CD,
∴△BDE≌△CDA(AAS)
(2)
∵D为BC的中点,AD⊥BC,
∴直线AD为线段BC的垂直平分线,
∴BA=CA.由
(1),得△BDE≌△CDA,
∴BE=CA,
∴BA=BE
6. 如图,若 AC= AD,BC= BD,则下列结论正确的是( )
A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
答案
A
解析
在△ACB和△ADB中，
∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，
∴△ACB≌△ADB（SSS），
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACO和△ADO中（O为AB与CD交点），
∵AC=AD，∠CAO=∠DAO，AO=AO，
∴△ACO≌△ADO（SAS），
∴CO=DO，∠AOC=∠AOD=90°，
∴AB垂直平分CD。
A
∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，
∴△ACB≌△ADB（SSS），
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACO和△ADO中（O为AB与CD交点），
∵AC=AD，∠CAO=∠DAO，AO=AO，
∴△ACO≌△ADO（SAS），
∴CO=DO，∠AOC=∠AOD=90°，
∴AB垂直平分CD。
A
