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1. A、B两组学生前往离学校5 km的营地，两组同时从学校出发. 已知A组的速度比B组快1 km/h，所以A组比B组早15 min到达营地. 问：A、B两组各用了多长时间到达营地？
答案
1. A组用了1 h到达营地，B组用了1.25 h到达营地. 提示：设B组的速度是x km/h，则A组的速度是(x+1) km/h. 根据题意，得方程 $\frac{5}{x+1}+\frac{15}{60}=\frac{5}{x}$. 解得 $x_1=-5$，$x_2=4$. 经检验，$x_1=-5$，$x_2=4$都是原方程的根，但负值不符合实际意义，应舍去. 所以，B组用的时间为 $5÷4=1.25(\mathrm{h})$，A组用的时间为 $5÷5=1(\mathrm{h})$.
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系找等量关系。首先明确已知条件：总路程均为5km，A组速度比B组快1km/h，A组比B组早到15min。首先需统一单位，将15min换算为0.25h，保证单位匹配。接下来确定等量关系：B组走完全程的时间 - A组走完全程的时间 = 0.25h。我们可以设B组速度为未知数，表示出A组速度，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两组的行驶时间，代入等量关系列分式方程求解，最后要对解进行两次检验，一是检验是否为原方程的根，二是检验是否符合实际意义，再进一步计算两组的行驶时间即可。
【解析】
步骤1：单位换算
15 min = $\frac{15}{60}$ h = 0.25 h
步骤2：设未知数，列方程
设B组的速度是$x$ km/h，则A组的速度是$(x+1)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，A组全程用时$\frac{5}{x+1}$ h，B组全程用时$\frac{5}{x}$ h，结合A组比B组早到0.25h，列方程得：
$\frac{5}{x+1}+\frac{15}{60}=\frac{5}{x}$
步骤3：解方程
方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$去分母得：
$5x + 0.25x(x+1) = 5(x+1)$
展开整理得：
$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-4)=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=4$
步骤4：检验解的合理性
经检验，$x_1=-5$、$x_2=4$均为原分式方程的根，但速度为正数，故$x=-5$不符合实际意义，舍去。
因此B组速度为4 km/h，A组速度为$4+1=5$ km/h。
步骤5：计算两组用时
A组用时：$5÷5=1$（h）
B组用时：$5÷4=1.25$（h）
【答案】
A组用了1 h到达营地，B组用了1.25 h到达营地。
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题关键是找准等量关系，注意解题过程中要统一单位，解完分式方程后需检验解是否符合实际意义，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系找等量关系。首先明确已知条件：总路程均为5km，A组速度比B组快1km/h，A组比B组早到15min。首先需统一单位，将15min换算为0.25h，保证单位匹配。接下来确定等量关系：B组走完全程的时间 - A组走完全程的时间 = 0.25h。我们可以设B组速度为未知数，表示出A组速度，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两组的行驶时间，代入等量关系列分式方程求解，最后要对解进行两次检验，一是检验是否为原方程的根，二是检验是否符合实际意义，再进一步计算两组的行驶时间即可。
【解析】
步骤1：单位换算
15 min = $\frac{15}{60}$ h = 0.25 h
步骤2：设未知数，列方程
设B组的速度是$x$ km/h，则A组的速度是$(x+1)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，A组全程用时$\frac{5}{x+1}$ h，B组全程用时$\frac{5}{x}$ h，结合A组比B组早到0.25h，列方程得：
$\frac{5}{x+1}+\frac{15}{60}=\frac{5}{x}$
步骤3：解方程
方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$去分母得：
$5x + 0.25x(x+1) = 5(x+1)$
展开整理得：
$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-4)=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=4$
步骤4：检验解的合理性
经检验，$x_1=-5$、$x_2=4$均为原分式方程的根，但速度为正数，故$x=-5$不符合实际意义，舍去。
因此B组速度为4 km/h，A组速度为$4+1=5$ km/h。
步骤5：计算两组用时
A组用时：$5÷5=1$（h）
B组用时：$5÷4=1.25$（h）
【答案】
A组用了1 h到达营地，B组用了1.25 h到达营地。
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题关键是找准等量关系，注意解题过程中要统一单位，解完分式方程后需检验解是否符合实际意义，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
2. 因天气原因，菜市场的蔬菜大多涨价了. 王阿姨到菜市场买菜，跟卖菜的张老伯说：“今天的青菜每千克比昨天涨了2元钱.” 张老伯说：“是的，你花40元买青菜，今天要比昨天少买1千克了.” 那么今天1千克青菜多少元？
答案
2. 今天1千克青菜10元. 提示：设今天1千克青菜x元，则昨天1千克青菜$(x-2)$元. 根据题意，得方程 $\frac{40}{x}+1=\frac{40}{x-2}$. 解得 $x_1=10$，$x_2=-8$. 经检验，$x_1=10$，$x_2=-8$都是原方程的根，但负值不符合实际意义，应舍去.
解析
【分析】
这是一道分式方程实际应用题，解题思路如下：第一步明确所求为今天青菜的单价，可直接设为未知数x；第二步找等量关系：同样花40元，今天购买的青菜重量比昨天少1千克，即昨天购买重量=今天购买重量+1；第三步根据“重量=总价÷单价”，分别表示出昨天和今天购买青菜的重量，代入等量关系列出分式方程；第四步解分式方程，注意分式方程要先检验是否为增根，再结合实际意义舍去不符合要求的根，最终得到答案。
【解析】
解：设今天1千克青菜x元，则昨天1千克青菜为$(x-2)$元。
根据题意列方程：
$\frac{40}{x}+1=\frac{40}{x-2}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-2)$去分母得：
$40(x-2) + x(x-2) = 40x$
展开整理得：
$x^2 - 2x - 80 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+8)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-8$
检验：将$x_1=10$、$x_2=-8$分别代入$x(x-2)$，结果均不为0，因此二者都是原方程的根。但青菜单价不能为负数，不符合实际意义，故舍去$x=-8$。
所以$x=10$。
【答案】
今天1千克青菜10元
【知识点】
分式方程的应用、解分式方程、实际问题验根
【点评】
本题是典型的价格类分式方程应用题，解题核心是抓住总价固定时，单价与购买重量的对应关系找准等量关系，解题时需注意分式方程要双重检验，既要验证是否为原方程的增根，也要判断根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程实际应用题，解题思路如下：第一步明确所求为今天青菜的单价，可直接设为未知数x；第二步找等量关系：同样花40元，今天购买的青菜重量比昨天少1千克，即昨天购买重量=今天购买重量+1；第三步根据“重量=总价÷单价”，分别表示出昨天和今天购买青菜的重量，代入等量关系列出分式方程；第四步解分式方程，注意分式方程要先检验是否为增根，再结合实际意义舍去不符合要求的根，最终得到答案。
【解析】
解：设今天1千克青菜x元，则昨天1千克青菜为$(x-2)$元。
根据题意列方程：
$\frac{40}{x}+1=\frac{40}{x-2}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-2)$去分母得：
$40(x-2) + x(x-2) = 40x$
展开整理得：
$x^2 - 2x - 80 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+8)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-8$
检验：将$x_1=10$、$x_2=-8$分别代入$x(x-2)$，结果均不为0，因此二者都是原方程的根。但青菜单价不能为负数，不符合实际意义，故舍去$x=-8$。
所以$x=10$。
【答案】
今天1千克青菜10元
【知识点】
分式方程的应用、解分式方程、实际问题验根
【点评】
本题是典型的价格类分式方程应用题，解题核心是抓住总价固定时，单价与购买重量的对应关系找准等量关系，解题时需注意分式方程要双重检验，既要验证是否为原方程的增根，也要判断根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
3. 某城市地铁1号线的起点A站与终点B站间的行程为60 km. 通过信号控制系统的升级与地铁列车动力系统的改进，该线路地铁列车的行驶速度提高了15 km/h，这样在不改变途经地铁站停靠时间的情况下，从起点A站到终点B站的行驶时间缩短了12 min. 如果该线路途经10个停靠站，每站停靠时间为2 min，那么提速后该线路地铁列车从起点A站出发到终点B站需要多少时间？
答案
3. 提速后该线路地铁列车从起点A站出发到终点B站需要 68 min. 提示：设原来的速度为x km/h，则提速后的速度为$(x+15)$ km/h. 根据题意，得方程 $\frac{60}{x}=\frac{60}{x+15}+\frac{12}{60}$. 解得 $x_1=60$，$x_2=-75$. 经检验，$x_1=60$，$x_2=-75$都是原方程的根，但负值不符合实际意义，应舍去. 所以提速后的速度为 $60+15=75(\mathrm{km/h})$，用时为$\frac{60}{75}×60+2×10=68(\mathrm{min})$.
解析
【分析】
解题首先要明确核心等量关系：提速前的纯行驶时间 = 提速后的纯行驶时间 + 缩短的12分钟。解题思路如下：第一步先统一单位，将分钟换算为小时避免单位冲突；第二步设原行驶速度为未知数，结合行程公式“时间=路程÷速度”列分式方程；第三步解方程后需双检验，既要验证是否为原方程的根，也要排除不符合实际意义的负根；第四步先算出提速后的纯行驶时间并换算为分钟，再加上所有停靠站的总停靠时间，即可得到全程总用时。
【解析】
解：先统一单位，$12\ \mathrm{min}=\frac{12}{60}\ \mathrm{h}$。
设列车原来的行驶速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则提速后的行驶速度为$(x+15)\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程：
$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+15}+\frac{12}{60}$
去分母整理得$x^2+15x-4500=0$，解得$x_1=60$，$x_2=-75$。
经检验，$x_1=60$、$x_2=-75$均为原方程的根，速度为负不符合实际意义，故舍去$x_2=-75$。
因此提速后的速度为$60+15=75\ \mathrm{km/h}$，提速后纯行驶时间为$\frac{60}{75}×60=48\ \mathrm{min}$，停靠总时间为$10×2=20\ \mathrm{min}$。
全程总用时为$48+20=68\ \mathrm{min}$。
【答案】
提速后该线路地铁列车从起点A站出发到终点B站需要68 min。
【知识点】
分式方程应用，行程问题公式，分式方程验根
【点评】
本题结合生活实际考查分式方程的应用，解题时要注意区分纯行驶时间和含停靠的总时间，做好单位统一，解分式方程后必须验证根的实际意义，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确核心等量关系：提速前的纯行驶时间 = 提速后的纯行驶时间 + 缩短的12分钟。解题思路如下：第一步先统一单位，将分钟换算为小时避免单位冲突；第二步设原行驶速度为未知数，结合行程公式“时间=路程÷速度”列分式方程；第三步解方程后需双检验，既要验证是否为原方程的根，也要排除不符合实际意义的负根；第四步先算出提速后的纯行驶时间并换算为分钟，再加上所有停靠站的总停靠时间，即可得到全程总用时。
【解析】
解：先统一单位，$12\ \mathrm{min}=\frac{12}{60}\ \mathrm{h}$。
设列车原来的行驶速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则提速后的行驶速度为$(x+15)\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程：
$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+15}+\frac{12}{60}$
去分母整理得$x^2+15x-4500=0$，解得$x_1=60$，$x_2=-75$。
经检验，$x_1=60$、$x_2=-75$均为原方程的根，速度为负不符合实际意义，故舍去$x_2=-75$。
因此提速后的速度为$60+15=75\ \mathrm{km/h}$，提速后纯行驶时间为$\frac{60}{75}×60=48\ \mathrm{min}$，停靠总时间为$10×2=20\ \mathrm{min}$。
全程总用时为$48+20=68\ \mathrm{min}$。
【答案】
提速后该线路地铁列车从起点A站出发到终点B站需要68 min。
【知识点】
分式方程应用，行程问题公式，分式方程验根
【点评】
本题结合生活实际考查分式方程的应用，解题时要注意区分纯行驶时间和含停靠的总时间，做好单位统一，解分式方程后必须验证根的实际意义，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
