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1. 去分母：
在保持方程左、右两边
在保持方程左、右两边
相等
的前提下，把分数系数方程转化为整数系数方程。答案
1. 相等
解析
【分析】
本题考查去分母的基本前提，解题时首先回忆等式变形的基本原则：所有解方程的变形都需要保证方程左右两边始终相等，去分母作为解方程的步骤之一，依据是等式的性质2，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，因此去分母时要保证左右两边乘相同的数，保持两边相等，才能将分数系数方程转化为整数系数方程，据此即可得出答案。
【解析】
根据解方程的基本要求，方程的所有变形都要保证等式仍然成立，即左右两边始终相等。去分母的操作依据是等式的性质2，给方程左右两边同时乘所有分母的最小公倍数，在保持两边相等的前提下，即可消去分母，将分数系数方程转化为整数系数方程。因此横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
1. 等式的性质
2. 去分母
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对去分母操作规则的识记，难度较低，只要掌握解方程变形的基本要求即可正确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查去分母的基本前提，解题时首先回忆等式变形的基本原则：所有解方程的变形都需要保证方程左右两边始终相等，去分母作为解方程的步骤之一，依据是等式的性质2，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，因此去分母时要保证左右两边乘相同的数，保持两边相等，才能将分数系数方程转化为整数系数方程，据此即可得出答案。
【解析】
根据解方程的基本要求，方程的所有变形都要保证等式仍然成立，即左右两边始终相等。去分母的操作依据是等式的性质2，给方程左右两边同时乘所有分母的最小公倍数，在保持两边相等的前提下，即可消去分母，将分数系数方程转化为整数系数方程。因此横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
1. 等式的性质
2. 去分母
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对去分母操作规则的识记，难度较低，只要掌握解方程变形的基本要求即可正确作答。
【难度系数】
0.9
2. 去分母的方法：
在方程两边同时乘分母的
在方程两边同时乘分母的
最小公倍数
，再运用分配律进行化简，将方程转化为形式更简单的方程。答案
2. 最小公倍数
解析
【分析】
去分母的核心目的是把含分数系数的方程转化为整数系数方程，简化后续计算。要消去方程中所有分母，需要找到能被所有分母共同整除的数，若乘普通公倍数会让后续计算的系数变大，而乘所有分母的最小公倍数，既能完全消去全部分母，又能让得到的整数系数尽可能小，计算最简便，因此空缺处应填最小公倍数。
【解析】
去分母是解一元一次方程的常规步骤之一，操作时需在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，再运用乘法分配律展开化简，即可消去方程中的分母，将方程转化为系数为整数、形式更简单的方程，因此空缺处填最小公倍数。
【答案】
最小公倍数
【知识点】
1. 去分母的方法 2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题考查去分母的基础概念，是求解含分母方程的核心基础知识点，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
去分母的核心目的是把含分数系数的方程转化为整数系数方程，简化后续计算。要消去方程中所有分母，需要找到能被所有分母共同整除的数，若乘普通公倍数会让后续计算的系数变大，而乘所有分母的最小公倍数，既能完全消去全部分母，又能让得到的整数系数尽可能小，计算最简便，因此空缺处应填最小公倍数。
【解析】
去分母是解一元一次方程的常规步骤之一，操作时需在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，再运用乘法分配律展开化简，即可消去方程中的分母，将方程转化为系数为整数、形式更简单的方程，因此空缺处填最小公倍数。
【答案】
最小公倍数
【知识点】
1. 去分母的方法 2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题考查去分母的基础概念，是求解含分母方程的核心基础知识点，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
例4 王叔叔参加一次同学聚会，集合后一起去旅游，已知他们有若干人和若干辆车.若每3人共乘1辆车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，则最终剩余9人.他们一共有多少人？
解 设他们一共有x人.
根据题目中车辆总数一定，列得方程$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$.
去分母（方程两边同时乘分母的最小公倍数6），得$2x + 12 = 3(x - 9)$.
去括号，得$2x + 12 = 3x - 27$.
移项，得$2x - 3x = -27 - 12$.
合并同类项，得$-x = -39$.
系数化为1，得$x = 39$.
所以他们一共有39人.
解 设他们一共有x人.
根据题目中车辆总数一定，列得方程$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$.
去分母（方程两边同时乘分母的最小公倍数6），得$2x + 12 = 3(x - 9)$.
去括号，得$2x + 12 = 3x - 27$.
移项，得$2x - 3x = -27 - 12$.
合并同类项，得$-x = -39$.
系数化为1，得$x = 39$.
所以他们一共有39人.
答案
解：设他们一共有$x$人。
根据车辆总数一定，列方程得：
$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
去分母，得$2x + 12 = 3(x - 9)$
去括号，得$2x + 12 = 3x - 27$
移项，得$2x - 3x = -27 - 12$
合并同类项，得$-x = -39$
系数化为1，得$x = 39$
答：他们一共有39人。
根据车辆总数一定，列方程得：
$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
去分母，得$2x + 12 = 3(x - 9)$
去括号，得$2x + 12 = 3x - 27$
移项，得$2x - 3x = -27 - 12$
合并同类项，得$-x = -39$
系数化为1，得$x = 39$
答：他们一共有39人。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系。本题中总车辆数是固定的，我们可以设总人数为未知数x，分别用含x的式子表示两种乘车方案下的总车辆数：①每3人乘1辆车时，已使用的车辆数为$\frac{x}{3}$，加上剩余的2辆就是总车辆数，即$\frac{x}{3}+2$；②每2人乘1辆车时，有9人没车坐，说明坐满人的车辆共搭载了$(x-9)$人，总车辆数为$\frac{x-9}{2}$。利用两种情况总车辆数相等列方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
【解析】
设他们一共有$x$人。
根据车辆总数一定，列方程得：
$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
去分母（方程两边同时乘6），得$2x + 12 = 3(x - 9)$
去括号，得$2x + 12 = 3x - 27$
移项，得$2x - 3x = -27 - 12$
合并同类项，得$-x = -39$
系数化为1，得$x = 39$
答：他们一共有39人。
【答案】
39人
【知识点】
1.一元一次方程的实际应用 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于典型的盈亏类方程应用题，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，只要熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确审题找到等量关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系。本题中总车辆数是固定的，我们可以设总人数为未知数x，分别用含x的式子表示两种乘车方案下的总车辆数：①每3人乘1辆车时，已使用的车辆数为$\frac{x}{3}$，加上剩余的2辆就是总车辆数，即$\frac{x}{3}+2$；②每2人乘1辆车时，有9人没车坐，说明坐满人的车辆共搭载了$(x-9)$人，总车辆数为$\frac{x-9}{2}$。利用两种情况总车辆数相等列方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
【解析】
设他们一共有$x$人。
根据车辆总数一定，列方程得：
$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
去分母（方程两边同时乘6），得$2x + 12 = 3(x - 9)$
去括号，得$2x + 12 = 3x - 27$
移项，得$2x - 3x = -27 - 12$
合并同类项，得$-x = -39$
系数化为1，得$x = 39$
答：他们一共有39人。
【答案】
39人
【知识点】
1.一元一次方程的实际应用 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于典型的盈亏类方程应用题，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，只要熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确审题找到等量关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
知识点五 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤包括：
去分母、去括号、移项、合并
解一元一次方程的一般步骤包括：
去分母、去括号、移项、合并
同类项
、系数化为1
等。通过这些步骤，可以使以$x$为未知数的一元一次方程逐步转化为$x=m$的形式。这个过程主要依据等式的性质和运算律等。答案
同类项 1
解析
【分析】
这道题考查解一元一次方程基本步骤的识记，我们可以回忆完整的解一元一次方程流程推导答案：先去分母消除分数系数，再去括号消除括号，随后移项把含未知数的项和常数项分别放到等号两侧，接下来需要把相同类型的项合并，将方程简化为$ax=b(a≠0)$的形式，最后要把未知数$x$的系数变为1，得到$x=m$的最终解，对应空缺位置就能得出结果。
【解析】
解一元一次方程的完整步骤依次为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。其中合并同类项是将含未知数的项、常数项分别合并，把方程简化为$ax=b(a≠0)$的形式；系数化为1是利用等式的性质2，两边同时除以未知数的系数，得到$x=m$的最终解，因此两个空缺依次填“同类项”、“1”。
【答案】
同类项 1
【知识点】
解一元一次方程的步骤；合并同类项
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对一元一次方程求解核心步骤的记忆，熟练掌握这些步骤是后续正确求解一元一次方程的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查解一元一次方程基本步骤的识记，我们可以回忆完整的解一元一次方程流程推导答案：先去分母消除分数系数，再去括号消除括号，随后移项把含未知数的项和常数项分别放到等号两侧，接下来需要把相同类型的项合并，将方程简化为$ax=b(a≠0)$的形式，最后要把未知数$x$的系数变为1，得到$x=m$的最终解，对应空缺位置就能得出结果。
【解析】
解一元一次方程的完整步骤依次为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。其中合并同类项是将含未知数的项、常数项分别合并，把方程简化为$ax=b(a≠0)$的形式；系数化为1是利用等式的性质2，两边同时除以未知数的系数，得到$x=m$的最终解，因此两个空缺依次填“同类项”、“1”。
【答案】
同类项 1
【知识点】
解一元一次方程的步骤；合并同类项
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对一元一次方程求解核心步骤的记忆，熟练掌握这些步骤是后续正确求解一元一次方程的前提。
【难度系数】
0.9
例5 解下列方程：
(1) $6 - \frac{3x + 1}{2} = \frac{3x + 4}{4}$；
(2) $\frac{5x + 1}{6} + 3 = \frac{4x - 4}{3} + \frac{7x + 3}{8}$。
特别提醒
1. 去分母的依据是等式的性质2.
2. 选择乘分母的最小公倍数，可以使变形后方程的系数的绝对值最小，便于计算。
解题要点
1. 根据题中两种假设情况下“车辆总数不变”列方程，即利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”这一基本的相等关系列方程。
2. 在解方程去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，包括没有分母的项，不要漏乘。
特别提醒
解一元一次方程时，不一定按照固定的步骤进行，也不一定按照固定的顺序进行，需要仔细观察方程特点，灵活运用，熟练以后，可以适当简化步骤。
解(1) 去分母（方程两边乘4），得 $24 - 2(3x + 1) = 3x + 4$。
去括号，得 $24 - 6x - 2 = 3x + 4$。
移项，得 $-6x - 3x = 4 - 24 + 2$。
合并同类项，得 $-9x = -18$。
系数化为1，得 $x = 2$。
(2) 去分母（方程两边乘24），得 $4(5x + 1) + 72 = 8(4x - 4) + 3(7x + 3)$。
去括号，得 $20x + 4 + 72 = 32x - 32 + 21x + 9$。
移项，得 $20x - 32x - 21x = -32 + 9 - 4 - 72$。
合并同类项，得 $-33x = -99$。
系数化为1，得 $x = 3$。
解题要点
1. 分数线有两层意义，一方面它代表除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，避免计算错误。
2. 去括号后也可以先合并同类项，再移项。
(1) $6 - \frac{3x + 1}{2} = \frac{3x + 4}{4}$；
(2) $\frac{5x + 1}{6} + 3 = \frac{4x - 4}{3} + \frac{7x + 3}{8}$。
特别提醒
1. 去分母的依据是等式的性质2.
2. 选择乘分母的最小公倍数，可以使变形后方程的系数的绝对值最小，便于计算。
解题要点
1. 根据题中两种假设情况下“车辆总数不变”列方程，即利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”这一基本的相等关系列方程。
2. 在解方程去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，包括没有分母的项，不要漏乘。
特别提醒
解一元一次方程时，不一定按照固定的步骤进行，也不一定按照固定的顺序进行，需要仔细观察方程特点，灵活运用，熟练以后，可以适当简化步骤。
解(1) 去分母（方程两边乘4），得 $24 - 2(3x + 1) = 3x + 4$。
去括号，得 $24 - 6x - 2 = 3x + 4$。
移项，得 $-6x - 3x = 4 - 24 + 2$。
合并同类项，得 $-9x = -18$。
系数化为1，得 $x = 2$。
(2) 去分母（方程两边乘24），得 $4(5x + 1) + 72 = 8(4x - 4) + 3(7x + 3)$。
去括号，得 $20x + 4 + 72 = 32x - 32 + 21x + 9$。
移项，得 $20x - 32x - 21x = -32 + 9 - 4 - 72$。
合并同类项，得 $-33x = -99$。
系数化为1，得 $x = 3$。
解题要点
1. 分数线有两层意义，一方面它代表除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，避免计算错误。
2. 去括号后也可以先合并同类项，再移项。
答案
解：
(1) 去分母（方程两边乘4），得
$24 - 2(3x + 1) = 3x + 4$
去括号，得
$24 - 6x - 2 = 3x + 4$
移项，得
$-6x - 3x = 4 - 24 + 2$
合并同类项，得
$-9x = -18$
系数化为1，得
$x = 2$
(2) 去分母（方程两边乘24），得
$4(5x + 1) + 72 = 8(4x - 4) + 3(7x + 3)$
去括号，得
$20x + 4 + 72 = 32x - 32 + 21x + 9$
移项，得
$20x - 32x - 21x = -32 + 9 - 4 - 72$
合并同类项，得
$-33x = -99$
系数化为1，得
$x = 3$
(1) 去分母（方程两边乘4），得
$24 - 2(3x + 1) = 3x + 4$
去括号，得
$24 - 6x - 2 = 3x + 4$
移项，得
$-6x - 3x = 4 - 24 + 2$
合并同类项，得
$-9x = -18$
系数化为1，得
$x = 2$
(2) 去分母（方程两边乘24），得
$4(5x + 1) + 72 = 8(4x - 4) + 3(7x + 3)$
去括号，得
$20x + 4 + 72 = 32x - 32 + 21x + 9$
移项，得
$20x - 32x - 21x = -32 + 9 - 4 - 72$
合并同类项，得
$-33x = -99$
系数化为1，得
$x = 3$
解析
【分析】
这两道是含分数分母的一元一次方程，解题思路如下：首先根据等式的性质2去分母，先找到方程中所有分母的最小公倍数，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项）都要乘这个最小公倍数，同时分子作为整体要添上括号，避免符号错误；之后依次按照去括号、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1的步骤求解，每一步注意检查符号是否正确。
【解析】
(1) 去分母（方程两边乘4），得
$24 - 2(3x + 1) = 3x + 4$
去括号，得
$24 - 6x - 2 = 3x + 4$
移项，得
$-6x - 3x = 4 - 24 + 2$
合并同类项，得
$-9x = -18$
系数化为1，得
$x = 2$
(2) 去分母（方程两边乘24），得
$4(5x + 1) + 72 = 8(4x - 4) + 3(7x + 3)$
去括号，得
$20x + 4 + 72 = 32x - 32 + 21x + 9$
移项，得
$20x - 32x - 21x = -32 + 9 - 4 - 72$
合并同类项，得
$-33x = -99$
系数化为1，得
$x = 3$
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=3$
【知识点】
解一元一次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题是解含分母的一元一次方程的常规题型，核心易错点为去分母时漏乘常数项、忘记给分子加括号导致符号错误，掌握解方程的基本步骤，养成每步检查的习惯可以有效规避这类错误。
【难度系数】
0.7
这两道是含分数分母的一元一次方程，解题思路如下：首先根据等式的性质2去分母，先找到方程中所有分母的最小公倍数，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项）都要乘这个最小公倍数，同时分子作为整体要添上括号，避免符号错误；之后依次按照去括号、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1的步骤求解，每一步注意检查符号是否正确。
【解析】
(1) 去分母（方程两边乘4），得
$24 - 2(3x + 1) = 3x + 4$
去括号，得
$24 - 6x - 2 = 3x + 4$
移项，得
$-6x - 3x = 4 - 24 + 2$
合并同类项，得
$-9x = -18$
系数化为1，得
$x = 2$
(2) 去分母（方程两边乘24），得
$4(5x + 1) + 72 = 8(4x - 4) + 3(7x + 3)$
去括号，得
$20x + 4 + 72 = 32x - 32 + 21x + 9$
移项，得
$20x - 32x - 21x = -32 + 9 - 4 - 72$
合并同类项，得
$-33x = -99$
系数化为1，得
$x = 3$
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=3$
【知识点】
解一元一次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题是解含分母的一元一次方程的常规题型，核心易错点为去分母时漏乘常数项、忘记给分子加括号导致符号错误，掌握解方程的基本步骤，养成每步检查的习惯可以有效规避这类错误。
【难度系数】
0.7
