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1. 如图所示,在长方形 $ABCD$ 中,$AB = 12\ cm$,$AD = 6\ cm$。动点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿线段 $AB$,$BC$ 向点 $C$ 运动,速度为 $3\ cm/s$；动点 $Q$ 从点 $B$ 出发,沿线段 $BC$ 向点 $C$ 运动,速度为 $1\ cm/s$。点 $P$,$Q$ 同时出发,任意一点到达点 $C$ 时两点同时停止运动。设运动时间为 $t\ s$。
(1) 当点 $P$ 在 $AB$ 上运动时,$BP = $ ______(用含 $t$ 的式子表示)；
(2) 当 $BP$ 与 $BQ$ 的和等于长方形周长的 $\frac{1}{4}$ 时,求运动时间 $t$。
(1) 当点 $P$ 在 $AB$ 上运动时,$BP = $ ______(用含 $t$ 的式子表示)；
(2) 当 $BP$ 与 $BQ$ 的和等于长方形周长的 $\frac{1}{4}$ 时,求运动时间 $t$。
答案
(1)(12-3t)cm
(2)因为AB=12cm,AD=6cm,所以长方形周长为(12+6)×2=36(cm).当点P在AB上运动时,$12-3t+t=36×\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{3}{2}$;当点P在BC上运动时,$3t-12+t=36×\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{21}{4}$.综上所述,当BP与BQ的和等于长方形周长的$\frac{1}{4}$时,t为$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{4}$.
解析
【分析】
(1) 点P在AB上运动时，先求出t秒内P运动的路程，再用AB的总长度减去P走过的路程，即可得到BP的长度表达式。
(2) 先计算长方形周长，得出周长的$\frac{1}{4}$的数值。再分两种情况讨论：①点P在AB上运动时，用含t的式子分别表示BP、BQ，根据两者之和等于周长的$\frac{1}{4}$列方程求解；②点P在BC上运动时，先表示出此时BP的长度，再结合BQ的长度列方程求解，最后验证解是否符合对应运动阶段的时间范围即可。
【解析】
(1) 点P在AB上的运动速度为3cm/s，运动t秒的路程为$3t\ \mathrm{cm}$，已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=(12-3t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 长方形ABCD的周长为$2×(12+6)=36\ \mathrm{cm}$，因此周长的$\frac{1}{4}$为$36×\frac{1}{4}=9\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当点P在AB上运动时，此时$0≤ t≤4$（P走完AB的时间为$12÷3=4\ \mathrm{s}$）：
由题意得$12-3t+t=9$，
整理得$12-2t=9$，
解得$t=\frac{3}{2}$，符合$0≤ t≤4$的范围，成立。
② 当点P在BC上运动时，此时$4＜ t≤6$（P从A到C的总时间为$(12+6)÷3=6\ \mathrm{s}$）：
此时P走过的总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，因此$BP=(3t-12)\ \mathrm{cm}$，由题意得$3t-12+t=9$，
整理得$4t=21$，
解得$t=\frac{21}{4}$，符合$4＜ t≤6$的范围，成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(12-3t)\mathrm{cm}}$
(2) 运动时间$t$为$\boldsymbol{\frac{3}{2}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{21}{4}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；动点分段讨论
【点评】
本题属于动点类基础应用题，解题的关键是根据动点所处的线段位置分段分析，正确表示对应线段的长度，求解后要注意验证解是否符合运动的实际情况，避免漏解或出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
(1) 点P在AB上运动时，先求出t秒内P运动的路程，再用AB的总长度减去P走过的路程，即可得到BP的长度表达式。
(2) 先计算长方形周长，得出周长的$\frac{1}{4}$的数值。再分两种情况讨论：①点P在AB上运动时，用含t的式子分别表示BP、BQ，根据两者之和等于周长的$\frac{1}{4}$列方程求解；②点P在BC上运动时，先表示出此时BP的长度，再结合BQ的长度列方程求解，最后验证解是否符合对应运动阶段的时间范围即可。
【解析】
(1) 点P在AB上的运动速度为3cm/s，运动t秒的路程为$3t\ \mathrm{cm}$，已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=(12-3t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 长方形ABCD的周长为$2×(12+6)=36\ \mathrm{cm}$，因此周长的$\frac{1}{4}$为$36×\frac{1}{4}=9\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当点P在AB上运动时，此时$0≤ t≤4$（P走完AB的时间为$12÷3=4\ \mathrm{s}$）：
由题意得$12-3t+t=9$，
整理得$12-2t=9$，
解得$t=\frac{3}{2}$，符合$0≤ t≤4$的范围，成立。
② 当点P在BC上运动时，此时$4＜ t≤6$（P从A到C的总时间为$(12+6)÷3=6\ \mathrm{s}$）：
此时P走过的总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，因此$BP=(3t-12)\ \mathrm{cm}$，由题意得$3t-12+t=9$，
整理得$4t=21$，
解得$t=\frac{21}{4}$，符合$4＜ t≤6$的范围，成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(12-3t)\mathrm{cm}}$
(2) 运动时间$t$为$\boldsymbol{\frac{3}{2}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{21}{4}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；动点分段讨论
【点评】
本题属于动点类基础应用题，解题的关键是根据动点所处的线段位置分段分析，正确表示对应线段的长度，求解后要注意验证解是否符合运动的实际情况，避免漏解或出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
2. 如图所示,$1$ 个单位长度表示 $1\ cm$,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动 $1\ cm$ 到达 $A$ 点,再向左移动 $5\ cm$ 到达 $B$ 点,然后向右移动 $10\ cm$ 到达 $C$ 点。
(1) 请你直接写出 $A$,$B$,$C$ 三点所表示的数,点 $A$ 表示的数为______,点 $B$ 表示的数为______,点 $C$ 表示的数为______。
(2) 若动点 $P$,$Q$ 分别从 $B$,$C$ 两点同时向左移动,点 $P$,$Q$ 的速度分别为每秒 $3\ cm$ 和每秒 $6\ cm$,设移动时间为 $t\ s(t＞0)$。
① 当 $t = 3$ 时,求 $PQ$ 的长度；
② 运动过程中,$P$,$Q$ 两点表示的数分别为 $m$,$n$,试探究 $2m - n$ 的值是否会随着 $t$ 的变化而改变,请说明理由。
(1) 请你直接写出 $A$,$B$,$C$ 三点所表示的数,点 $A$ 表示的数为______,点 $B$ 表示的数为______,点 $C$ 表示的数为______。
(2) 若动点 $P$,$Q$ 分别从 $B$,$C$ 两点同时向左移动,点 $P$,$Q$ 的速度分别为每秒 $3\ cm$ 和每秒 $6\ cm$,设移动时间为 $t\ s(t＞0)$。
① 当 $t = 3$ 时,求 $PQ$ 的长度；
② 运动过程中,$P$,$Q$ 两点表示的数分别为 $m$,$n$,试探究 $2m - n$ 的值是否会随着 $t$ 的变化而改变,请说明理由。
答案
(1)-1 -6 4
(2)①动点P,Q分别从B,C两点同时向左移动,点P,Q的速度分别为每秒3cm和每秒6cm,点P表示的数为-6-3t,点Q表示的数为4-6t,所以PQ=|-6-3t-(4-6t)|=|3t-10|,那么当t=3时,PQ=|3×3-10|=1.②因为m=-6-3t,n=4-6t,所以2m-n=2(-6-3t)-(4-6t)=-12-6t-4+6t=-16.所以2m-n的值不会随着t的变化而改变.
解析
【分析】
(1) 数轴上点的移动遵循“左减右加”的规律，原点表示的数为0，向左移动就减去对应的移动长度，向右移动就加上对应的移动长度，按照移动顺序依次计算A、B、C三点表示的数即可。
(2) ① 先根据“左减右加”的规则，用含t的代数式分别表示出t秒后P、Q两点对应的数，数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，再将t=3代入即可求出PQ的长度。
② 先写出m、n关于t的表达式，再将其代入2m-n中进行整式化简，若化简结果为常数、不含t，就说明2m-n的值不随t的变化而改变，反之则会变化。
【解析】
(1) 点从表示数0的原点出发，向左移动1cm到A点，A表示的数为$0-1=-1$；
再向左移动5cm到B点，B表示的数为$-1-5=-6$；
再向右移动10cm到C点，C表示的数为$-6+10=4$。
(2) ① 动点P从表示数-6的B点向左移动，速度为3cm/s，t秒后P表示的数为$-6-3t$；
动点Q从表示数4的C点向左移动，速度为6cm/s，t秒后Q表示的数为$4-6t$；
则$PQ=|-6-3t-(4-6t)|=|3t-10|$，
当$t=3$时，$PQ=|3×3-10|=|9-10|=1$，即PQ长度为1cm。
② 由题意得$m=-6-3t$，$n=4-6t$，代入$2m-n$得：
$2m-n=2(-6-3t)-(4-6t)=-12-6t-4+6t=-16$，
化简结果为常数-16，不含t，所以2m-n的值不会随t的变化而改变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{-6}$；$\boldsymbol{4}$
(2) ① $\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；② $2m-n$的值不会随着t的变化而改变，恒为$\boldsymbol{-16}$。
【知识点】
数轴的应用，动点问题，整式化简
【点评】
本题是数轴动点的基础典型题，核心解题思路是掌握数轴上移动点的表示规则，判断代数式的值是否随变量变化时，只需化简代数式，观察化简结果是否仍含有变量即可。
【难度系数】
0.7
(1) 数轴上点的移动遵循“左减右加”的规律，原点表示的数为0，向左移动就减去对应的移动长度，向右移动就加上对应的移动长度，按照移动顺序依次计算A、B、C三点表示的数即可。
(2) ① 先根据“左减右加”的规则，用含t的代数式分别表示出t秒后P、Q两点对应的数，数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，再将t=3代入即可求出PQ的长度。
② 先写出m、n关于t的表达式，再将其代入2m-n中进行整式化简，若化简结果为常数、不含t，就说明2m-n的值不随t的变化而改变，反之则会变化。
【解析】
(1) 点从表示数0的原点出发，向左移动1cm到A点，A表示的数为$0-1=-1$；
再向左移动5cm到B点，B表示的数为$-1-5=-6$；
再向右移动10cm到C点，C表示的数为$-6+10=4$。
(2) ① 动点P从表示数-6的B点向左移动，速度为3cm/s，t秒后P表示的数为$-6-3t$；
动点Q从表示数4的C点向左移动，速度为6cm/s，t秒后Q表示的数为$4-6t$；
则$PQ=|-6-3t-(4-6t)|=|3t-10|$，
当$t=3$时，$PQ=|3×3-10|=|9-10|=1$，即PQ长度为1cm。
② 由题意得$m=-6-3t$，$n=4-6t$，代入$2m-n$得：
$2m-n=2(-6-3t)-(4-6t)=-12-6t-4+6t=-16$，
化简结果为常数-16，不含t，所以2m-n的值不会随t的变化而改变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{-6}$；$\boldsymbol{4}$
(2) ① $\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；② $2m-n$的值不会随着t的变化而改变，恒为$\boldsymbol{-16}$。
【知识点】
数轴的应用，动点问题，整式化简
【点评】
本题是数轴动点的基础典型题，核心解题思路是掌握数轴上移动点的表示规则，判断代数式的值是否随变量变化时，只需化简代数式，观察化简结果是否仍含有变量即可。
【难度系数】
0.7
