登录
形如()的式子叫作二次根式，“√”称为二次根号。
答案
$\sqrt {a}（a\ge 0）$
解析
根号的定义为一个式子平方（乘）后等于这个数，则该式子称为该数的平方根，记作“$\sqrt { }$”的形式，对该符号与式子进行定义描述，即可得到二次根式的定义，即形如$\sqrt {a}（a\ge 0）$的式子叫做二次根式。
思考 $\sqrt{a}$ 有意义，对 $a$ 的要求是什么？
答案
要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，被开方数必须是非负数。
结论：$a≥0$
结论：$a≥0$
填空 若式子 $\sqrt{5 - x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 应满足的条件是。
答案
$x ≤ 5$
解析
要使二次根式$\sqrt{5 - x}$在实数范围内有意义，被开方数必须是非负数，即$5 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 5$。
例1 当 $x$ 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $\sqrt{4x^2}$； (2) $\sqrt{\dfrac{x^3}{2}}$；
(3) $\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}$； (4) $\dfrac{\sqrt{3x - 5}}{x - 3}$。
(1) $\sqrt{4x^2}$； (2) $\sqrt{\dfrac{x^3}{2}}$；
(3) $\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}$； (4) $\dfrac{\sqrt{3x - 5}}{x - 3}$。
答案
(1) 对于 $\sqrt{4x^2}$：
解：由于 $4x^2 ≥ 0$ 对所有实数 $x$ 都成立，因此 $x$ 可以取任意实数。
(2) 对于 $\sqrt{\frac{x^3}{2}}$：
解：要求 $\frac{x^3}{2} ≥ 0$，即 $x^3 ≥ 0$。解得 $x ≥ 0$。
(3) 对于 $\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}$：
解：
要求 $x + 3 ≥ 0$ 且 $2 - x ≥ 0$。
解得 $x ≥ -3$ 且 $x ≤ 2$。
综合这两个不等式，得到 $-3 ≤ x ≤ 2$。
(4) 对于 $\frac{\sqrt{3x - 5}}{x - 3}$：
解：
要求 $3x - 5 ≥ 0$ 且 $x - 3 ≠ 0$。
解得 $x ≥ \frac{5}{3}$ 且 $x ≠ 3$。
解：由于 $4x^2 ≥ 0$ 对所有实数 $x$ 都成立，因此 $x$ 可以取任意实数。
(2) 对于 $\sqrt{\frac{x^3}{2}}$：
解：要求 $\frac{x^3}{2} ≥ 0$，即 $x^3 ≥ 0$。解得 $x ≥ 0$。
(3) 对于 $\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}$：
解：
要求 $x + 3 ≥ 0$ 且 $2 - x ≥ 0$。
解得 $x ≥ -3$ 且 $x ≤ 2$。
综合这两个不等式，得到 $-3 ≤ x ≤ 2$。
(4) 对于 $\frac{\sqrt{3x - 5}}{x - 3}$：
解：
要求 $3x - 5 ≥ 0$ 且 $x - 3 ≠ 0$。
解得 $x ≥ \frac{5}{3}$ 且 $x ≠ 3$。
变式训练 (1) 若 $\sqrt{\dfrac{-x + 2}{x^2}}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是。
(2) 已知 $n$ 为正整数，$\sqrt{18n}$ 也是正整数，那么满足条件的 $n$ 的最小值是。
(2) 已知 $n$ 为正整数，$\sqrt{18n}$ 也是正整数，那么满足条件的 $n$ 的最小值是。
答案
(1) $x ≤ 2$ 且 $x ≠ 0$
(2) $2$
(2) $2$
解析
(1) 要使 $\sqrt{\dfrac{-x + 2}{x^2}}$ 有意义，必须满足：
$\dfrac{-x + 2}{x^2} ≥ 0$ 且 $x^2 ≠ 0$，
即：$-x + 2 ≥ 0$ 且 $x ≠ 0$，
解得：$x ≤ 2$ 且 $x ≠ 0$。
(2) 已知 $n$ 为正整数，要使 $\sqrt{18n}$ 为正整数，则 $18n$ 必须是一个完全平方数。
将 $18n$ 分解为：$18n = 2 × 3^2 × n$。
为了使 $18n$ 为完全平方数，$n$ 至少需要包含因子 $2$，即 $n$ 的最小值为 $2$，此时 $18n = 36$，是一个完全平方数。
$\dfrac{-x + 2}{x^2} ≥ 0$ 且 $x^2 ≠ 0$，
即：$-x + 2 ≥ 0$ 且 $x ≠ 0$，
解得：$x ≤ 2$ 且 $x ≠ 0$。
(2) 已知 $n$ 为正整数，要使 $\sqrt{18n}$ 为正整数，则 $18n$ 必须是一个完全平方数。
将 $18n$ 分解为：$18n = 2 × 3^2 × n$。
为了使 $18n$ 为完全平方数，$n$ 至少需要包含因子 $2$，即 $n$ 的最小值为 $2$，此时 $18n = 36$，是一个完全平方数。
例2 (1) 已知 $y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 1$，则 $\dfrac{y}{x} =$。
(2) 已知 $\dfrac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}}{x - 1} + y = 4$，则 $x^y =$。
(2) 已知 $\dfrac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}}{x - 1} + y = 4$，则 $x^y =$。
答案
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $1$
解析
(1) 由题意得：$\begin{cases}2 - x ≥ 0 \\ x - 2 ≥ 0\end{cases}$，解得$x = 2$。将$x = 2$代入$y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 1$，得$y = 0 + 0 + 1 = 1$。所以$\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2}$。
(2) 由题意得：$\begin{cases}x^2 - 1 ≥ 0 \\ 1 - x^2 ≥ 0\end{cases}$，解得$x^2 = 1$，即$x = \pm 1$。又因为分母$x - 1 ≠ 0$，所以$x ≠ 1$，故$x = -1$。将$x = -1$代入$\dfrac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}}{x - 1} + y = 4$，得$\dfrac{0 + 0}{-1 - 1} + y = 4$，即$y = 4$。所以$x^y = (-1)^4 = 1$。
(2) 由题意得：$\begin{cases}x^2 - 1 ≥ 0 \\ 1 - x^2 ≥ 0\end{cases}$，解得$x^2 = 1$，即$x = \pm 1$。又因为分母$x - 1 ≠ 0$，所以$x ≠ 1$，故$x = -1$。将$x = -1$代入$\dfrac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}}{x - 1} + y = 4$，得$\dfrac{0 + 0}{-1 - 1} + y = 4$，即$y = 4$。所以$x^y = (-1)^4 = 1$。
变式训练 (1) 已知 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 2$，则 $x - y =$。
(2) 已知 $a$，$b$ 为等腰三角形的两条边的长，且 $a$，$b$ 满足 $b = 4 + \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a}$，则该三角形的周长为。
(2) 已知 $a$，$b$ 为等腰三角形的两条边的长，且 $a$，$b$ 满足 $b = 4 + \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a}$，则该三角形的周长为。
答案
-1；10
解析
(1) 要使 $\sqrt{x - 1}$ 和 $\sqrt{1 - x}$ 有意义，则 $x - 1 ≥ 0$ 且 $1 - x ≥ 0$，解得 $x = 1$。将 $x = 1$ 代入 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 2$，得 $y = 0 + 0 + 2 = 2$。所以 $x - y = 1 - 2 = -1$。
(2) 要使 $\sqrt{a - 2}$ 和 $\sqrt{2 - a}$ 有意义，则 $a - 2 ≥ 0$ 且 $2 - a ≥ 0$，解得 $a = 2$。将 $a = 2$ 代入 $b = 4 + \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a}$，得 $b = 4 + 0 + 0 = 4$。当腰长为 2 时，$2 + 2 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去；当腰长为 4 时，周长为 $4 + 4 + 2 = 10$。
(2) 要使 $\sqrt{a - 2}$ 和 $\sqrt{2 - a}$ 有意义，则 $a - 2 ≥ 0$ 且 $2 - a ≥ 0$，解得 $a = 2$。将 $a = 2$ 代入 $b = 4 + \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a}$，得 $b = 4 + 0 + 0 = 4$。当腰长为 2 时，$2 + 2 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去；当腰长为 4 时，周长为 $4 + 4 + 2 = 10$。
1. 在式子：① $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，② $\sqrt{-3}$，③ $\sqrt{x^2 + 1}$，④ $\sqrt[3]{8}$，⑤ $\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}$，⑥ $\sqrt{1 - x}(x ＞ 1)$ 中，二次根式有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
二次根式需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
①$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：根指数为2，被开方数$\dfrac{1}{3}＞0$，是二次根式；
②$\sqrt{-3}$：被开方数$-3＜0$，不是二次根式；
③$\sqrt{x^2 + 1}$：根指数为2，$x^2+1≥1＞0$，是二次根式；
④$\sqrt[3]{8}$：根指数为3，不是二次根式；
⑤$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}$：根指数为2，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}＞0$，是二次根式；
⑥$\sqrt{1 - x}(x ＞ 1)$：$1-x＜0$，不是二次根式。
综上，二次根式有①③⑤，共3个。
①$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：根指数为2，被开方数$\dfrac{1}{3}＞0$，是二次根式；
②$\sqrt{-3}$：被开方数$-3＜0$，不是二次根式；
③$\sqrt{x^2 + 1}$：根指数为2，$x^2+1≥1＞0$，是二次根式；
④$\sqrt[3]{8}$：根指数为3，不是二次根式；
⑤$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}$：根指数为2，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}＞0$，是二次根式；
⑥$\sqrt{1 - x}(x ＞ 1)$：$1-x＜0$，不是二次根式。
综上，二次根式有①③⑤，共3个。
2. 若 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3$，则 $P(x, y)$ 在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
要使 $ \sqrt{x - 2} $ 和 $ \sqrt{2 - x} $ 同时有意义，则 $ x - 2 ≥ 0 $ 且 $ 2 - x ≥ 0 $，即 $ x ≥ 2 $ 且 $ x ≤ 2 $，所以 $ x = 2 $。
将 $ x = 2 $ 代入 $ y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3 $，得 $ y = \sqrt{0} + \sqrt{0} - 3 = -3 $。
因此点 $ P(x, y) $ 的坐标为 $ (2, -3) $，位于第四象限。
