8. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1,3)，则BD=_______。
　　　　　　　　　　　

$\sqrt{10}$

9. 如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F。若AB=5，BC=12，则PE + PF=_______。
　　　　　　　　　　　

$\frac{60}{13}$

10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE//BD，交AD的延长线于点E。
（1）求证：AC=CE；
（2）若DE=9，CD=12，求△COD的周长。
　　　　　

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD，BC//AD，即BC//DE.
又∵CE//BD，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴BD = CE，∴AC = CE.
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，CO = DO=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠EDC = 180° - ∠ADC = 90°.
在Rt△EDC中，DE = 9，CD = 12，
∴CE=$\sqrt{DE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}} = 15$，
由(1)知，AC = CE = 15，
∴△COD的周长为CO + DO + CD=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC + CD = AC + CD = 15 + 12 = 27.

11. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形。
（1）若△PCD是等腰三角形，求AP的长；
（2）判断CF与AC有怎样的位置关系，并说明理由。
　　　　　

解：(1)∵在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，∠ADC = 90°，
∴DC = AB = 6，
AC=$\sqrt{AD^{2}+DC^{2}} = 10$.
若△PCD是等腰三角形，则分以下3种情况：
①当CP = CD时，AP = AC - CP = 10 - 6 = 4.
②当PD = PC时，∠PDC = ∠PCD，
∵∠PCD + ∠PAD = ∠PDC + ∠PDA = 90°，
∴∠PAD = ∠PDA，
∴PD = PA，∴PA = PC，∴AP=$\frac{1}{2}$AC = 5.
③当DP = DC时，如答图①，过点D作DQ⊥AC于点Q，则PQ = CQ，
∵$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}AC\cdot DQ$，
∴DQ=$\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{24}{5}$，
∴CQ=$\sqrt{DC^{2}-DQ^{2}}=\frac{18}{5}$，
∴PC = 2CQ=$\frac{36}{5}$，
∴AP = AC - PC = 10-$\frac{36}{5}=\frac{14}{5}$.
综上所述，AP的长为4或5或$\frac{14}{5}$.
(2)CF⊥AC. 理由如下：
如答图②，连接PF，DE，交于点O，连接OC.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD = 90°.
∵四边形PEFD是矩形，∴OE = OD，∴OC=$\frac{1}{2}$ED.
∵在矩形PEFD中，PF = DE，∴OC=$\frac{1}{2}$PF.
∵OP = OF=$\frac{1}{2}$PF，∴OC = OP = OF，
∴∠OCF = ∠OFC，∠OCP = ∠OPC.
∵∠OPC + ∠OFC + ∠PCF = 180°，
∴2∠OCP + 2∠OCF = 180°，
∴∠OCP + ∠OCF = 90°，
∴∠PCF = 90°，∴CF⊥AC.

12.（2023·江阴期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，P为BC上一个动点，BP=m，点B关于直线AP的对称点是E。
（1）当m=2时，若直线PE恰好经过点D，求此时AD的长；
（2）若AD足够长，当点E到直线AD的距离不超过3时，求m的取值范围。
　　　　　

解：(1)如答图①，∵点B关于直线AP的对称点是E，


∴AE = AB = 5，PE = PB = 2，∠AEP = ∠B.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = 90°，AD//BC，
∴∠AEP = 90°，∠BPA = ∠DAP，∴∠AED = 90°，∠DAP = ∠DPA，∴DA = DP.
在Rt△ADE中，设AD = PD = x，
∴DE = x - 2，AE = 5，
∴$(x - 2)^{2}+5^{2}=x^{2}$，
解得x=$\frac{29}{4}$，即AD的长为$\frac{29}{4}$.
(2)当点E位于直线AD上方且到AD距离为3时，如答图②，过点E作GH⊥AD，交BC于点G，交AD于点H.
在Rt△AEH中，AE = 5，EH = 3，
∴AH = 4，
在Rt△EPG中，PE = m，PG = 4 - m，EG = 2，
∴$(4 - m)^{2}+2^{2}=m^{2}$，解得m=$\frac{5}{2}$；
当点E位于直线AD下方且到AD的距离为3时，如答图③，过点E作GH⊥AB，交BA的延长线于点H，过点P作PG⊥GH于点G.
在Rt△AEH中，AE = 5，AH = 3，
∴EH = 4，
在Rt△EPG中，PE = m，PG = 8，EG = m - 4，
∴$(m - 4)^{2}+8^{2}=m^{2}$，解得m = 10，
∴当点E到直线AD的距离不超过3时，m的取值范围为$\frac{5}{2}\leq m\leq10$.