登录
1. 在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l(垂足为P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.
(1) 当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示. 求证：AE=BF.
(2) 当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示，则∠AFQ的度数为__________:
(3) 直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示. 设AB=2，BF=x，DG=y，求y与x之间的函数表达式.
(1) 当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示. 求证：AE=BF.
(2) 当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示，则∠AFQ的度数为__________:
(3) 直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示. 设AB=2，BF=x，DG=y，求y与x之间的函数表达式.
答案
（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴ DA = AB，∠BAD = ∠ABF = 90°. ∴ ∠PAD + ∠BAF = 90°. ∵ DE ⊥ AF，∴ ∠APD = 90°. ∴ ∠PAD + ∠ADE = 90°. ∴ ∠ADE = ∠BAF. 在△DAE和△ABF中，∵ ∠ADE = ∠BAF，DA = AB，∠DAE = ∠ABF，∴ △DAE≌△ABF. ∴ AE = BF
（2）45° 解析：连接AQ、CQ. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BA = BC，∠ABC = 90°，∠ABQ = ∠CBQ = 45°. 又∵ BQ = BQ，∴ △ABQ≌△CBQ. ∴ QA = QC，∠BAQ = ∠BCQ. 根据题意，得EQ垂直平分线段AF，∴ QA = QF. ∴ ∠FAQ = ∠AFQ，QC = QF. ∴ ∠QCF = ∠QFC. ∴ ∠QFC = ∠BAQ. ∵ ∠QFC + ∠BFQ = 180°，∴ ∠BAQ + ∠BFQ = 180°. ∵ 四边形ABFQ的内角和为360°，∴ ∠AQF + ∠ABF = 180°. ∵ ∠ABF = 90°，∴ ∠AQF = 90°. ∴ ∠AFQ = $\frac{1}{2}$×(180° - 90°)= 45°.
（3）过点E作ET⊥CD于点T，则∠ETG = ∠ETC = 90°. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB = BC，∠ABC = ∠C = 90°. ∴ 四边形BCTE是矩形，∠ABF = ∠ETG. ∴ ET = BC = AB，BE = TC，∠BET = ∠AET = 90°. ∴ ∠AEP + ∠TEG = 90°. ∵ AF ⊥ EG，∴ ∠APE = 90°. ∴ ∠AEP + ∠BAF = 90°. ∴ ∠BAF = ∠TEG. 在△ABF和△ETG中，$\begin{cases}∠BAF = ∠TEG，\\AB = ET，\\∠ABF = ∠ETG，\end{cases}$ ∴ △ABF≌△ETG. ∴ BF = TG = x. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD = AB = CD = 2，AD//BC，DG//BE. ∴ 易得△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG. ∴ $\frac{BP}{DP}=\frac{BF}{DA}$，$\frac{BE}{DG}=\frac{BP}{DP}$. ∴ $\frac{BE}{y}=\frac{x}{2}$. ∴ BE = TC = $\frac{1}{2}xy$. ∵ TG = CD - DG - TC，∴ x = 2 - y - $\frac{1}{2}xy$. ∴ y = $\frac{4 - 2x}{x + 2}$(0≤x≤2)
（2）45° 解析：连接AQ、CQ. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BA = BC，∠ABC = 90°，∠ABQ = ∠CBQ = 45°. 又∵ BQ = BQ，∴ △ABQ≌△CBQ. ∴ QA = QC，∠BAQ = ∠BCQ. 根据题意，得EQ垂直平分线段AF，∴ QA = QF. ∴ ∠FAQ = ∠AFQ，QC = QF. ∴ ∠QCF = ∠QFC. ∴ ∠QFC = ∠BAQ. ∵ ∠QFC + ∠BFQ = 180°，∴ ∠BAQ + ∠BFQ = 180°. ∵ 四边形ABFQ的内角和为360°，∴ ∠AQF + ∠ABF = 180°. ∵ ∠ABF = 90°，∴ ∠AQF = 90°. ∴ ∠AFQ = $\frac{1}{2}$×(180° - 90°)= 45°.
（3）过点E作ET⊥CD于点T，则∠ETG = ∠ETC = 90°. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB = BC，∠ABC = ∠C = 90°. ∴ 四边形BCTE是矩形，∠ABF = ∠ETG. ∴ ET = BC = AB，BE = TC，∠BET = ∠AET = 90°. ∴ ∠AEP + ∠TEG = 90°. ∵ AF ⊥ EG，∴ ∠APE = 90°. ∴ ∠AEP + ∠BAF = 90°. ∴ ∠BAF = ∠TEG. 在△ABF和△ETG中，$\begin{cases}∠BAF = ∠TEG，\\AB = ET，\\∠ABF = ∠ETG，\end{cases}$ ∴ △ABF≌△ETG. ∴ BF = TG = x. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD = AB = CD = 2，AD//BC，DG//BE. ∴ 易得△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG. ∴ $\frac{BP}{DP}=\frac{BF}{DA}$，$\frac{BE}{DG}=\frac{BP}{DP}$. ∴ $\frac{BE}{y}=\frac{x}{2}$. ∴ BE = TC = $\frac{1}{2}xy$. ∵ TG = CD - DG - TC，∴ x = 2 - y - $\frac{1}{2}xy$. ∴ y = $\frac{4 - 2x}{x + 2}$(0≤x≤2)
2. (2024·泰安)(1) 如图①，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H. 求证：$\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$.
(2) 如图②，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF. 将纸片展平，连接EG、FH、FG，若FG//CD，求证：G恰好是对角线BD的一个黄金分割点.
(2) 如图②，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF. 将纸片展平，连接EG、FH、FG，若FG//CD，求证：G恰好是对角线BD的一个黄金分割点.
答案
（1）过点E作EM⊥BC，垂足为M，则∠EMF = ∠EMB = 90°. ∴ 在△EMF中，∠FEM + ∠BFH = 90°. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A = ∠ABC = ∠C = 90°. ∴ ∠EMF = ∠C，四边形ABME是矩形. ∴ AB = EM. ∵ EF ⊥ BG，∴ ∠BHF = 90°. ∴ 在△BHF中，∠FBH + ∠BFH = 90°. ∴ ∠FBH = ∠FEM. ∴ △EMF∽△BCG. ∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{EM}{BC}$. ∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$
（2）∵ FG//CD，∴ △BCD∽△BFG. ∴ $\frac{CD}{FG}=\frac{BD}{BG}$，∠CDF = ∠DFG. ∵ DF、BE为折痕，∴ ∠CDF = ∠BDF，AB = BG. ∴ ∠DFG = ∠BDF. ∴ GD = FG. ∴ $\frac{CD}{GD}=\frac{BD}{BG}$. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB = CD. ∴ BG = CD. ∴ $\frac{BG}{GD}=\frac{BD}{BG}$. ∴ BG² = BD·GD，即G恰好是对角线BD的一个黄金分割点
（2）∵ FG//CD，∴ △BCD∽△BFG. ∴ $\frac{CD}{FG}=\frac{BD}{BG}$，∠CDF = ∠DFG. ∵ DF、BE为折痕，∴ ∠CDF = ∠BDF，AB = BG. ∴ ∠DFG = ∠BDF. ∴ GD = FG. ∴ $\frac{CD}{GD}=\frac{BD}{BG}$. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB = CD. ∴ BG = CD. ∴ $\frac{BG}{GD}=\frac{BD}{BG}$. ∴ BG² = BD·GD，即G恰好是对角线BD的一个黄金分割点
