例 已知一个三角形的三边 $ a $，$ b $，$ c $ 满足下列条件，判断这个三角形是否为直角三角形.
(1) $ a = \dfrac{5}{4} $，$ b = 1 $，$ c = \dfrac{3}{4} $.
(2) $ a : b : c = 1 : 2 : 3 $.
(3) $ a = m^{2} - n^{2} $，$ b = 2mn $，$ c = m^{2} + n^{2} $.（$ m $，$ n $ 均为正整数，且 $ m ＞ n $）
分析：要判定一个三角形是否为直角三角形，在已知三边长度关系时，通常看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 最关键是要区分哪两条边为较短边，哪条边为最长边.
解：(1) $ \because a = \dfrac{5}{4} $，$ b = 1 $，$ c = \dfrac{3}{4} $，$ \therefore a^{2} = ( \dfrac{5}{4} )^{2} = \dfrac{25}{16} $，$ b^{2} + c^{2} = 1 + ( \dfrac{3}{4} )^{2} = \dfrac{25}{16} $.
$ \therefore a^{2} = b^{2} + c^{2} $，$ \therefore $ 这个三角形是直角三角形.
(2) $ \because a : b : c = 1 : 2 : 3 $，设 $ a = x $，则 $ b = 2x $，$ c = 3x $，
$ \therefore a^{2} + b^{2} = x^{2} + (2x)^{2} = 5x^{2} $，$ c^{2} = 9x^{2} $.
$ \because a^{2} + b^{2} ≠ c^{2} $，$ \therefore $ 这个三角形不是直角三角形.
(3) $ \because a = m^{2} - n^{2} $，$ b = 2mn $，$ c = m^{2} + n^{2} $，$ m $，$ n $ 均为正整数，且 $ m ＞ n $，
$ \therefore c ＞ b $，$ c ＞ a $.
$ \because a^{2} + b^{2} = (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4} + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4} = (m^{2} + n^{2})^{2} = c^{2} $，
$ \therefore $ 这个三角形是直角三角形.

解：
(1) $\because a = \dfrac{5}{4}$，$b = 1$，$c = \dfrac{3}{4}$，
$\therefore a^{2} = ( \dfrac{5}{4} )^{2} = \dfrac{25}{16}$，$b^{2} + c^{2} = 1^{2} + ( \dfrac{3}{4} )^{2} = \dfrac{25}{16}$，
$\therefore a^{2} = b^{2} + c^{2}$，
$\therefore$ 这个三角形是直角三角形。
(2) $\because a:b:c = 1:2:3$，设$a = x$（$x＞0$），则$b = 2x$，$c = 3x$，
$\therefore a^{2} + b^{2} = x^{2} + (2x)^{2} = 5x^{2}$，$c^{2} = (3x)^{2} = 9x^{2}$，
$\because a^{2} + b^{2} ≠ c^{2}$，
$\therefore$ 这个三角形不是直角三角形。
(3) $\because m$，$n$均为正整数，且$m ＞ n$，
$\therefore c ＞ a$，$c ＞ b$，
$\because a^{2} + b^{2} = (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4} + 4m^{2}n^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} = c^{2}$，
$\therefore$ 这个三角形是直角三角形。