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2. 如图，正方形 $ABCD$ 的面积为 $64$，被分成四个相同的长方形和一个面积为 $4$ 的小正方形，则 $m$，$n$ 的值分别是()。
A.$3$，$5$
B.$5$，$3$
C.$6.5$，$1.5$
D.$1.5$，$6.5$
A.$3$，$5$
B.$5$，$3$
C.$6.5$，$1.5$
D.$1.5$，$6.5$
答案
B
解析
正方形 $ABCD$ 的面积为 $64$，所以边长为 $ \sqrt{64} = 8$。
题目中给出，正方形 $ABCD$ 被分成四个相同的长方形和一个面积为 $4$ 的小正方形。
设长方形的长为 $m$，宽为 $n$，根据图形，有：
$m + n = 8$（长和宽之和等于正方形边长），
长方形的短边拼接成了小正方形的边长，且小正方形面积为 $4$，所以小正方形边长为 $ \sqrt{4} = 2$，
即：$m - n = 2$。
联立方程：
$\begin{cases}m + n = 8, \\m - n = 2.\end{cases}$
解得：
$m = 5$，$n = 3$。
所以，$m$ 和 $n$ 的值分别是 $5$ 和 $3$。
题目中给出，正方形 $ABCD$ 被分成四个相同的长方形和一个面积为 $4$ 的小正方形。
设长方形的长为 $m$，宽为 $n$，根据图形，有：
$m + n = 8$（长和宽之和等于正方形边长），
长方形的短边拼接成了小正方形的边长，且小正方形面积为 $4$，所以小正方形边长为 $ \sqrt{4} = 2$，
即：$m - n = 2$。
联立方程：
$\begin{cases}m + n = 8, \\m - n = 2.\end{cases}$
解得：
$m = 5$，$n = 3$。
所以，$m$ 和 $n$ 的值分别是 $5$ 和 $3$。
3. 一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是 $7$，把这个两位数加上 $45$ 后，结果恰好成为十位上的数字和个位上的数字对调后组成的两位数，则这个两位数是。
答案
16
解析
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7 - x$。原两位数为$10x + (7 - x) = 9x + 7$，对调后的两位数为$10(7 - x) + x = 70 - 9x$。根据题意得：$9x + 7 + 45 = 70 - 9x$，解得$x = 1$，则个位数字为$7 - 1 = 6$，所以这个两位数是$16$。
4. 根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度。长颈鹿的高度比梅花鹿的高度的 $3$ 倍还多 $1$ m。
答案
解：设梅花鹿现在的高度为 $ x $ m，则长颈鹿现在的高度为 $ (3x + 1) $ m。
由图可知，长颈鹿比梅花鹿高 4 m，可列方程：
$ 3x + 1 - x = 4 $
$ 2x + 1 = 4 $
$ 2x = 3 $
$ x = 1.5 $
则长颈鹿的高度为：$ 3x + 1 = 3×1.5 + 1 = 5.5 $ (m)
答：梅花鹿现在的高度为 1.5 m，长颈鹿现在的高度为 5.5 m。
由图可知，长颈鹿比梅花鹿高 4 m，可列方程：
$ 3x + 1 - x = 4 $
$ 2x + 1 = 4 $
$ 2x = 3 $
$ x = 1.5 $
则长颈鹿的高度为：$ 3x + 1 = 3×1.5 + 1 = 5.5 $ (m)
答：梅花鹿现在的高度为 1.5 m，长颈鹿现在的高度为 5.5 m。
1. 将一副三角尺按如图所示方式摆放，且 $∠ 1$ 的度数比 $∠ 2$ 的度数大 $10^{\circ}$。若设 $∠ 1 = x^{\circ}$，$∠ 2 = y^{\circ}$，则可列方程组为()。
A.$\begin{cases}x = y - 10, \\ x + y = 180\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = y + 10, \\ x + y = 90\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = y + 10, \\ x + y = 180\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = y - 10, \\ x + y = 90\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = y - 10, \\ x + y = 180\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = y + 10, \\ x + y = 90\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = y + 10, \\ x + y = 180\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = y - 10, \\ x + y = 90\end{cases}$
答案
B
解析
由题意知，∠1比∠2大10°，可得x = y + 10；观察图形，∠1与∠2和三角尺的直角组成平角，三角尺直角为90°，所以x + y + 90 = 180，即x + y = 90。综上，方程组为$\begin{cases}x = y + 10 \\ x + y = 90\end{cases}$。
2. (2024 昆明五华区期末)如图，在长为 $20$，宽为 $15$ 的长方形中，有形状、大小完全相同的 $5$ 个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积。设小长方形的长为 $x$，宽为 $y$，根据题意，下面所列方程组中正确的是()。
A.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ 4x = 15\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ 4y = 15\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ 3y = x\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ x + y = 15\end{cases}$
A.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ 4x = 15\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ 4y = 15\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ 3y = x\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + 2y = 20, \\ x + y = 15\end{cases}$
答案
D
解析
设小长方形的长为$x$，宽为$y$。由大长方形的长为20，观察图形可知长由1个小长方形的长和2个小长方形的宽组成，可得方程$x + 2y = 20$；大长方形的宽为15，由1个小长方形的长和1个小长方形的宽组成，可得方程$x + y = 15$。故方程组为$\begin{cases}x + 2y = 20 \\ x + y = 15\end{cases}$。
3. 一个两位数，十位上的数字和个位上的数字之和是 $7$，如果把十位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的新两位数比原两位数大 $27$，则原两位数为。
答案
25
解析
设原两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
由题意得：$\begin{cases}x + y = 7 \\ 10y + x - (10x + y) = 27\end{cases}$
化简第二个方程：$10y + x - 10x - y = 27$，$9y - 9x = 27$，即$y - x = 3$
联立$\begin{cases}x + y = 7 \\ y - x = 3\end{cases}$，两式相加得$2y = 10$，$y = 5$，则$x = 7 - y = 2$
原两位数为$10x + y = 10×2 + 5 = 25$
由题意得：$\begin{cases}x + y = 7 \\ 10y + x - (10x + y) = 27\end{cases}$
化简第二个方程：$10y + x - 10x - y = 27$，$9y - 9x = 27$，即$y - x = 3$
联立$\begin{cases}x + y = 7 \\ y - x = 3\end{cases}$，两式相加得$2y = 10$，$y = 5$，则$x = 7 - y = 2$
原两位数为$10x + y = 10×2 + 5 = 25$
4. 一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是 $7$，若把这个两位数加上 $9$，所得的两位数的十位上的数字和个位上的数字恰好与原来的两位数的十位上的数字和个位上的数字颠倒了，求原来的两位数。
答案
设原来两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10x + y + 9 = 10y + x\end{cases}$
由第二个方程化简得：
$10x + y + 9 = 10y + x \\9x - 9y = -9 \\x - y = -1$
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\x - y = -1\end{cases}$
两式相加：$2x = 6$，解得$x = 3$。
将$x = 3$代入$x + y = 7$，得$y = 4$。
所以原来的两位数为$10x + y = 10×3 + 4 = 34$。
答：原来的两位数是34。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10x + y + 9 = 10y + x\end{cases}$
由第二个方程化简得：
$10x + y + 9 = 10y + x \\9x - 9y = -9 \\x - y = -1$
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\x - y = -1\end{cases}$
两式相加：$2x = 6$，解得$x = 3$。
将$x = 3$代入$x + y = 7$，得$y = 4$。
所以原来的两位数为$10x + y = 10×3 + 4 = 34$。
答：原来的两位数是34。
5. 某粮食加工厂收购玉米 $150$ t，准备加工后销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工 $8$ t 和粗加工 $16$ t，现计划用 $15$ 天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排 $x$ 天精加工，$y$ 天粗加工。所列方程组正确的是()。
A.$\begin{cases}x + y = 150, \\ 16x + 8y = 15\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 150, \\ 8x + 16y = 15\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 15, \\ 16x + 8y = 150\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 15, \\ 8x + 16y = 150\end{cases}$
A.$\begin{cases}x + y = 150, \\ 16x + 8y = 15\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 150, \\ 8x + 16y = 15\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 15, \\ 16x + 8y = 150\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 15, \\ 8x + 16y = 150\end{cases}$
答案
D
解析
本题可根据已知条件找出两个等量关系，再根据这两个等量关系列出方程组。
步骤一：分析天数的关系
已知计划用$15$天完成加工任务，设安排$x$天精加工，$y$天粗加工，因为精加工的天数加上粗加工的天数等于总天数$15$天，所以可得方程$x + y = 15$。
步骤二：分析加工量的关系
已知每天可以精加工$8t$，安排$x$天精加工，则精加工的玉米量为$8x t$；每天可以粗加工$16t$，安排$y$天粗加工，则粗加工的玉米量为$16y t$。
又已知收购玉米$150t$，那么精加工的玉米量加上粗加工的玉米量等于$150t$，即$8x + 16y = 150$。
步骤三：列出方程组
将上述两个方程联立起来，可得方程组$\begin{cases}x + y = 15\\8x + 16y = 150\end{cases}$。
步骤一：分析天数的关系
已知计划用$15$天完成加工任务，设安排$x$天精加工，$y$天粗加工，因为精加工的天数加上粗加工的天数等于总天数$15$天，所以可得方程$x + y = 15$。
步骤二：分析加工量的关系
已知每天可以精加工$8t$，安排$x$天精加工，则精加工的玉米量为$8x t$；每天可以粗加工$16t$，安排$y$天粗加工，则粗加工的玉米量为$16y t$。
又已知收购玉米$150t$，那么精加工的玉米量加上粗加工的玉米量等于$150t$，即$8x + 16y = 150$。
步骤三：列出方程组
将上述两个方程联立起来，可得方程组$\begin{cases}x + y = 15\\8x + 16y = 150\end{cases}$。
