(盐城中考)(1)如图①，一张直角三角形纸片，∠B = 90°。小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大。随后，他通过证明验证了其正确性，并得出结论：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为__________。
(2)如图②，在△ABC中，BC = a，BC边上的高AD = h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________（用含a，h的代数式表示）。
(3)如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB = 32，BC = 40，AE = 20，CD = 16，小明从中剪出一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积。
(4)如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB = 50cm，BC = 108cm，CD = 60cm，延长BA，CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，且$\frac{EH}{BH}=\frac{EH}{CH}=\frac{4}{3}$，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积。

解析：(1)$\frac{1}{2}$ (2)$\frac{ah}{4}$
(3)如图③，延长BA，DE交于点F，延长BC，ED交于点G，延长AE，CD交于点H，取BF的中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于点L。注意要说明中位线IK的两端点在线段AB和DE上，可求出该矩形的面积为720。
(4)如图④，作△EBC的中位线PQ，点P，Q分别在边CD，AB上，再作矩形PQMN，可求出该矩形的面积为1944 $cm^{2}$。

解析：(1)$\frac{1}{2}$ (2)$\frac{ah}{4}$
(3)如图③，延长BA，DE交于点F，延长BC，ED交于点G，延长AE，CD交于点H，取BF的中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于点L。注意要说明中位线IK的两端点在线段AB和DE上，可求出该矩形的面积为720。
(4)如图④，作△EBC的中位线PQ，点P，Q分别在边CD，AB上，再作矩形PQMN，可求出该矩形的面积为1944 $cm^{2}$。