例 1 （2023·山西）【问题情境】
数学课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE，其中∠ACB = ∠DEF = 90°，∠A = ∠D，将△ABC 和△DFE 按图②中的方式摆放，其中点 B 与点 F 重合（标记为点 B）.当∠ABE = ∠A 时，延长 DE 交 AC 于点 G，试判断四边形 B C G E 的形状，并说明理由.

【数学思考】
（1）请回答老师提出的问题.
【深入探究】
（2）老师将图②中的△DBE 绕点 B 逆时针旋转，使点 E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题.
① “善思小组”提出问题：如图③，当∠ABE = ∠BAC 时，过点 A 作 AM⊥BE 交 BE 的延长线于点 M，BM 与 AC 交于点 N.试猜想线段 AM 和 BE 的数量关系，并加以证明.请你解答此问题.
② “智慧小组”提出问题：如图④，当∠CBE = ∠BAC 时，过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，若 BC = 9，AC = 12，求 AH 的长.请你思考此问题，直接写出结果.
分析 （1）先证明四边形 B C G E 是矩形，再由△ACB ≌ △DEB 可得 BC = BE，从而得四边形 B C G E 是正方形；
（2）① 由已知∠ABE = ∠BAC 可得 AN = BN，由 S_{△ABN} = $\frac{1}{2}$AN·BC = $\frac{1}{2}$BN·AM，再结合已知证明结论即可；
② 设 AB，DE 的交点为 M，过点 M 作 MG⊥BD 于点 G，则易得 MD = MB，G 是 BD 的中点；利用三角函数知识可求得 DM 的长，进而求得 AM 的长，利用相似三角形的性质求得结果即可.

（1）四边形BCGE是正方形。理由如下：
∵△ABC≌△DEB，∴∠DEB=∠ACB=90°，BC=BE。
∵∠ABE=∠A，∴AC//BE（内错角相等，两直线平行）。
∵∠ACB=90°，∠DEB=90°，∴∠C=∠BEG=90°，又AC//BE，∴∠CGE=90°。
∴四边形BCGE是矩形，又BC=BE，∴四边形BCGE是正方形。
（2）①AM=BE。证明如下：
∵∠ABE=∠BAC，∴AN=BN（等角对等边）。
S△ABN=1/2·AN·BC=1/2·BN·AM，∵AN=BN，∴BC=AM。
∵△ABC≌△DEB，∴BE=BC，∴AM=BE。
②AH=27/5。