7. 如图，$O$是$△ ABC$所在平面内一动点，连接$OB$，$OC$，并依次连接$AB$，$OB$，$OC$，$AC$的中点$D$，$E$，$F$，$G$，如果$DEFG$能构成四边形。
（1）当点$O$在$△ ABC$内部时，求证：四边形$DEFG$是平行四边形。
（2）当$O$点移到$△ ABC$外部时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由。

（1）证明：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG//BC，且DG=1/2BC。
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF//BC，且EF=1/2BC。
∴DG//EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形。
（2）结论成立。
图形：（O在△ABC外部，连接OB、OC，取AB中点D，OB中点E，OC中点F，AC中点G，顺次连接D、E、F、G）
理由：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG//BC，且DG=1/2BC。
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF//BC，且EF=1/2BC。
∴DG//EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形。

8. 提升题 如图，$P$是正方形$ABCD$对角线$BD$上的一点，$PE⊥ DC$，$PF⊥ BC$，$E$，$F$分别为垂足。
（1）求证$△ APD≌△ CPD$；
（2）若$CF=3$，$CE=4$，求$AP$的长。

1.（1）
证明：
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD = CD$，$∠ ADP=∠ CDP$，
在$△ APD$和$△ CPD$中，
$\begin{cases}AD = CD\\∠ ADP=∠ CDP\\PD = PD\end{cases}$
$\therefore△ APD≌△ CPD(SAS)$。
（2）
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore∠ DCB = 90^{\circ}$，$AD = BC$，
$\because PE⊥ DC$，$PF⊥ BC$，
$\therefore$四边形$PFCE$是矩形，
$\therefore PF = CE = 4$，$PE = CF = 3$（修改了这里，原$PE$对应$CF$值，根据矩形对边相等），
由（1）知$△ APD≌△ CPD$，
$\therefore AP = CP$，
在$Rt△ PFC$中，根据勾股定理$CP=\sqrt{PF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，
$\therefore AP = 5$。
综上，答案为：（1）证明见上述过程；（2）$AP$的长为$5$。