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11. 如图，正方形卡片 $A$ 类、$B$ 类和长方形卡片 $C$ 类各若干张，如果要拼成一个长为 $(2m + n)$，宽为 $(m + 2n)$ 的大长方形，那么需要 $C$ 类卡片(
A.$2$ 张
B.$3$ 张
C.$4$ 张
D.$5$ 张
D
)A.$2$ 张
B.$3$ 张
C.$4$ 张
D.$5$ 张
答案
11. D 【解析】$(2m+n)(m+2n)=2m^{2}+4mn+mn+2n^{2}=2m^{2}+5mn+2n^{2}$，需要C类卡片5张。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“大长方形的面积等于所用所有卡片的面积之和”这一关系推导：
1. 先计算长为$(2m + n)$、宽为$(m + 2n)$的大长方形的面积，通过多项式乘多项式的运算展开；
2. 明确各类卡片对应的整式：A类正方形卡片面积为$m^2$，B类正方形卡片面积为$n^2$，C类长方形卡片面积为$mn$；
3. 展开式中$mn$项的系数就是需要的C类卡片数量，因为每张C类卡片对应一个$mn$的面积。
【解析】
计算大长方形的面积：
$\begin{aligned}(2m + n)(m + 2n)&=2m· m + 2m· 2n + n· m + n· 2n\\&=2m^2 + 4mn + mn + 2n^2\\&=2m^2 + 5mn + 2n^2\end{aligned}$
由于C类卡片的面积为$mn$，展开式中$mn$的系数为5，因此需要C类卡片5张。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，整式的乘法
【点评】
本题将几何图形面积与整式乘法结合，考查数形结合思想，要求学生理解不同卡片对应的整式项，通过代数运算解决几何拼接问题，提升整式乘法的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“大长方形的面积等于所用所有卡片的面积之和”这一关系推导：
1. 先计算长为$(2m + n)$、宽为$(m + 2n)$的大长方形的面积，通过多项式乘多项式的运算展开；
2. 明确各类卡片对应的整式：A类正方形卡片面积为$m^2$，B类正方形卡片面积为$n^2$，C类长方形卡片面积为$mn$；
3. 展开式中$mn$项的系数就是需要的C类卡片数量，因为每张C类卡片对应一个$mn$的面积。
【解析】
计算大长方形的面积：
$\begin{aligned}(2m + n)(m + 2n)&=2m· m + 2m· 2n + n· m + n· 2n\\&=2m^2 + 4mn + mn + 2n^2\\&=2m^2 + 5mn + 2n^2\end{aligned}$
由于C类卡片的面积为$mn$，展开式中$mn$的系数为5，因此需要C类卡片5张。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，整式的乘法
【点评】
本题将几何图形面积与整式乘法结合，考查数形结合思想，要求学生理解不同卡片对应的整式项，通过代数运算解决几何拼接问题，提升整式乘法的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 试说明对于任意自然数 $n$，代数式 $n(n + 7)-n(n - 5)+6$ 的值都能被 $6$ 整除。
答案
12. 解：因为$n(n+7)-n(n-5)+6=n^{2}+7n-n^{2}+5n+6=12n+6=6(2n+1)$，所以对于任意自然数n，代数式$n(n+7)-n(n-5)+6$的值都能被6整除。
解析
【分析】
要说明代数式的值能被6整除，核心思路是将代数式化简为6与某个整数的乘积形式。首先对代数式进行整式的混合运算，先展开各项，再合并同类项，最后通过提取公因式进行因式分解，由于n是自然数，化简后得到的式子中与6相乘的部分必然是整数，即可证明代数式的值能被6整除。
【解析】
解：对代数式逐步化简：
$\begin{aligned}n(n + 7)-n(n - 5)+6&=n^2 + 7n - (n^2 - 5n) + 6\\&=n^2 + 7n - n^2 + 5n + 6\\&=(n^2 - n^2)+(7n + 5n)+6\\&=12n + 6\\&=6(2n + 1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$2n+1$是整数，那么$6(2n+1)$是6的整数倍，因此对于任意自然数n，代数式$n(n + 7)-n(n - 5)+6$的值都能被6整除。
【答案】
对于任意自然数$n$，代数式$n(n + 7)-n(n - 5)+6$的值都能被6整除。
【知识点】
整式的混合运算、提取公因式法、整除的判定
【点评】
本题主要考查整式运算能力与整除的判定逻辑，解题关键是通过化简将代数式转化为6与整数的乘积形式，属于基础题型，侧重对运算基本功的考查。
【难度系数】
0.8
要说明代数式的值能被6整除，核心思路是将代数式化简为6与某个整数的乘积形式。首先对代数式进行整式的混合运算，先展开各项，再合并同类项，最后通过提取公因式进行因式分解，由于n是自然数，化简后得到的式子中与6相乘的部分必然是整数，即可证明代数式的值能被6整除。
【解析】
解：对代数式逐步化简：
$\begin{aligned}n(n + 7)-n(n - 5)+6&=n^2 + 7n - (n^2 - 5n) + 6\\&=n^2 + 7n - n^2 + 5n + 6\\&=(n^2 - n^2)+(7n + 5n)+6\\&=12n + 6\\&=6(2n + 1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$2n+1$是整数，那么$6(2n+1)$是6的整数倍，因此对于任意自然数n，代数式$n(n + 7)-n(n - 5)+6$的值都能被6整除。
【答案】
对于任意自然数$n$，代数式$n(n + 7)-n(n - 5)+6$的值都能被6整除。
【知识点】
整式的混合运算、提取公因式法、整除的判定
【点评】
本题主要考查整式运算能力与整除的判定逻辑，解题关键是通过化简将代数式转化为6与整数的乘积形式，属于基础题型，侧重对运算基本功的考查。
【难度系数】
0.8
13. 甲、乙二人共同计算 $2(x + a)(x + b)$，由于甲把第一个多项式中 $a$ 前面的符号抄成了“$-$”，得到的结果为 $2x^{2}+4x - 30$；由于乙漏抄了 $2$，得到的结果为 $x^{2}+8x + 15$。
（1）求 $a$，$b$ 的值。
（2）求出正确的结果。
（1）求 $a$，$b$ 的值。
（2）求出正确的结果。
答案
13. 解：(1)因为甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“-”，得到的结果为$2x^{2}+4x-30$，所以$2(x-a)(x+b)=2x^{2}+2bx-2ax-2ab=2x^{2}+(2b-2a)x-2ab=2x^{2}+4x-30$，所以$2b-2a=4$，$ab=15$。因为乙漏抄了2，得到的结果为$x^{2}+8x+15$，所以$(x+a)(x+b)=x^{2}+bx+ax+ab=x^{2}+(a+b)x+ab=x^{2}+8x+15$，所以$a+b=8$，$ab=15$。解方程组$\begin{cases}2b-2a=4,\\a+b=8,\end{cases}$得$\begin{cases}a=3,\\b=5,\end{cases}$满足$ab=15$，即$a=3$，$b=5$。
(2)$2(x+3)(x+5)=2x^{2}+10x+6x+30=2x^{2}+16x+30$。
(2)$2(x+3)(x+5)=2x^{2}+10x+6x+30=2x^{2}+16x+30$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要根据甲、乙两人的错误操作对应的结果反向推导a、b的值：
1. 先分析甲的错误：甲把第一个多项式中a前面的符号抄成“-”，计算的是$2(x-a)(x+b)$，将其展开后与甲得到的结果$2x^2+4x-30$对比对应项系数，得到关于a、b的方程；
2. 再分析乙的错误：乙漏抄了2，计算的是$(x+a)(x+b)$，展开后与乙得到的结果$x^2+8x+15$对比系数，得到另一个关于a、b的方程；
3. 联立得到的方程组求解a、b，最后将a、b代入正确式子$2(x+a)(x+b)$展开计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 分析甲的计算：
甲计算的式子为$2(x-a)(x+b)$，展开得：
$2(x-a)(x+b)=2(x^2+bx-ax-ab)=2x^2+2(b-a)x-2ab$
已知甲得到的结果为$2x^2+4x-30$，对比对应项系数可得：
$\begin{cases}2(b-a)=4 \\ -2ab=-30\end{cases}$，化简为$\begin{cases}b-a=2 \\ ab=15\end{cases}$
分析乙的计算：
乙计算的式子为$(x+a)(x+b)$，展开得：
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
已知乙得到的结果为$x^2+8x+15$，对比对应项系数可得：
$\begin{cases}a+b=8 \\ ab=15\end{cases}$
联立方程组$\begin{cases}b-a=2 \\ a+b=8\end{cases}$：
两式相加得$2b=10$，解得$b=5$，
将$b=5$代入$a+b=8$，得$a=8-5=3$，
验证$ab=3×5=15$，符合条件，故$a=3$，$b=5$。
(2) 计算正确结果：
将$a=3$，$b=5$代入$2(x+a)(x+b)$，得：
$2(x+3)(x+5)=2(x^2+5x+3x+15)=2(x^2+8x+15)=2x^2+16x+30$
【答案】
(1) $a=3$，$b=5$；(2) $2x^2+16x+30$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组
【点评】
本题考查整式乘法运算与二元一次方程组的综合应用，解题核心是根据错误操作还原算式，通过对比系数建立方程关系，考验逆向思维与运算的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要根据甲、乙两人的错误操作对应的结果反向推导a、b的值：
1. 先分析甲的错误：甲把第一个多项式中a前面的符号抄成“-”，计算的是$2(x-a)(x+b)$，将其展开后与甲得到的结果$2x^2+4x-30$对比对应项系数，得到关于a、b的方程；
2. 再分析乙的错误：乙漏抄了2，计算的是$(x+a)(x+b)$，展开后与乙得到的结果$x^2+8x+15$对比系数，得到另一个关于a、b的方程；
3. 联立得到的方程组求解a、b，最后将a、b代入正确式子$2(x+a)(x+b)$展开计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 分析甲的计算：
甲计算的式子为$2(x-a)(x+b)$，展开得：
$2(x-a)(x+b)=2(x^2+bx-ax-ab)=2x^2+2(b-a)x-2ab$
已知甲得到的结果为$2x^2+4x-30$，对比对应项系数可得：
$\begin{cases}2(b-a)=4 \\ -2ab=-30\end{cases}$，化简为$\begin{cases}b-a=2 \\ ab=15\end{cases}$
分析乙的计算：
乙计算的式子为$(x+a)(x+b)$，展开得：
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
已知乙得到的结果为$x^2+8x+15$，对比对应项系数可得：
$\begin{cases}a+b=8 \\ ab=15\end{cases}$
联立方程组$\begin{cases}b-a=2 \\ a+b=8\end{cases}$：
两式相加得$2b=10$，解得$b=5$，
将$b=5$代入$a+b=8$，得$a=8-5=3$，
验证$ab=3×5=15$，符合条件，故$a=3$，$b=5$。
(2) 计算正确结果：
将$a=3$，$b=5$代入$2(x+a)(x+b)$，得：
$2(x+3)(x+5)=2(x^2+5x+3x+15)=2(x^2+8x+15)=2x^2+16x+30$
【答案】
(1) $a=3$，$b=5$；(2) $2x^2+16x+30$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组
【点评】
本题考查整式乘法运算与二元一次方程组的综合应用，解题核心是根据错误操作还原算式，通过对比系数建立方程关系，考验逆向思维与运算的严谨性。
【难度系数】
0.6
14. 已知甲、乙两个长方形，其边长如图所示 $(m＞0)$，其面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$。
(1)用含 $m$ 的代数式表示：$S_{1}=$
(2)用“$＜$”“$＞$”或“$=$”填空：$S_{1}\_\_\_\_\_\_S_{2}$。
(3)①求甲、乙两个长方形的周长之和；
②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为 $S_{3}$，若 $m = -1$，求 $S_{3}-S_{2}$ 的值。
(1)用含 $m$ 的代数式表示：$S_{1}=$
$m^{2}+3m$
，$S_{2}=$$m^{2}+3m+2$
。(结果化为最简)(2)用“$＜$”“$＞$”或“$=$”填空：$S_{1}\_\_\_\_\_\_S_{2}$。
(3)①求甲、乙两个长方形的周长之和；
②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为 $S_{3}$，若 $m = -1$，求 $S_{3}-S_{2}$ 的值。
答案
14. 解：(1)$S_{1}=(m+3)m=m^{2}+3m$，$S_{2}=(m+2)(m+1)=m^{2}+3m+2$。故答案为：$m^{2}+3m$；$m^{2}+3m+2$。
(2)$S_{1}-S_{2}=m^{2}+3m-(m^{2}+3m+2)=-2$。因为$S_{1}-S_{2}＜0$，所以$S_{1}＜ S_{2}$。故答案为$＜$。
(3)①$2(m+3+m)+2(m+2+m+1)=2(2m+3)+2(2m+3)=4(2m+3)=8m+12$。所以甲、乙两个长方形的周长之和为$(8m+12)$。
②这个正方形的边长为$\frac{8m+12}{4}=2m+3$，则$S_{3}=(2m+3)^{2}=(2m+3)(2m+3)=4m^{2}+6m+6m+9=4m^{2}+12m+9$。因为$m=-1$，所以$S_{3}-S_{2}=4m^{2}+12m+9-(m^{2}+3m+2)=3m^{2}+9m+7=3-9+7=1$。
(2)$S_{1}-S_{2}=m^{2}+3m-(m^{2}+3m+2)=-2$。因为$S_{1}-S_{2}＜0$，所以$S_{1}＜ S_{2}$。故答案为$＜$。
(3)①$2(m+3+m)+2(m+2+m+1)=2(2m+3)+2(2m+3)=4(2m+3)=8m+12$。所以甲、乙两个长方形的周长之和为$(8m+12)$。
②这个正方形的边长为$\frac{8m+12}{4}=2m+3$，则$S_{3}=(2m+3)^{2}=(2m+3)(2m+3)=4m^{2}+6m+6m+9=4m^{2}+12m+9$。因为$m=-1$，所以$S_{3}-S_{2}=4m^{2}+12m+9-(m^{2}+3m+2)=3m^{2}+9m+7=3-9+7=1$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据长方形“面积=长×宽”的公式，分别代入甲、乙长方形的边长，利用整式乘法法则展开并化简，即可得到面积的代数式。
2. 第(2)问：采用作差法比较$S_1$和$S_2$的大小，计算$S_1 - S_2$，根据结果的正负判断两者大小关系：结果小于0则$S_1 ＜ S_2$，大于0则$S_1 ＞ S_2$，等于0则$S_1 = S_2$。
3. 第(3)问①：根据长方形“周长=2×(长+宽)”的公式，分别求出甲、乙的周长，再将两者相加，合并同类项化简得到周长之和。
②先通过正方形周长求出边长，进而得到正方形面积$S_3$的表达式，再将$m=-1$代入$S_3 - S_2$的表达式，计算出最终结果。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式计算：
甲长方形面积$S_{1}=m(m+3)=m^{2}+3m$；
乙长方形面积$S_{2}=(m+2)(m+1)=m^{2}+m+2m+2=m^{2}+3m+2$。
(2) 作差比较大小：
$S_{1}-S_{2}=(m^{2}+3m)-(m^{2}+3m+2)=m^{2}+3m-m^{2}-3m-2=-2$，
因为$-2＜0$，所以$S_{1}＜S_{2}$。
(3) ① 计算周长之和：
甲的周长：$2(m+m+3)=2(2m+3)$，
乙的周长：$2[(m+1)+(m+2)]=2(2m+3)$，
周长之和为：$2(2m+3)+2(2m+3)=4(2m+3)=8m+12$。
② 计算正方形相关数值：
正方形边长：$\frac{8m+12}{4}=2m+3$，
正方形面积$S_{3}=(2m+3)^{2}=4m^{2}+12m+9$，
当$m=-1$时，
$S_{3}-S_{2}=(4m^{2}+12m+9)-(m^{2}+3m+2)$
$=4m^{2}+12m+9-m^{2}-3m-2$
$=3m^{2}+9m+7$，
代入$m=-1$得：$3×(-1)^2+9×(-1)+7=3-9+7=1$。
【答案】
(1) $m^2+3m$；$m^2+3m+2$
(2) $＜$
(3) ① $8m+12$；② $1$
【知识点】
长方形周长面积公式；整式的运算；作差法比较大小
【点评】
本题结合几何图形考查整式的运算，需要熟练掌握长方形、正方形的周长和面积公式，以及整式的乘法、加减法法则，作差法是比较整式大小的常用方法，代入数值计算时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据长方形“面积=长×宽”的公式，分别代入甲、乙长方形的边长，利用整式乘法法则展开并化简，即可得到面积的代数式。
2. 第(2)问：采用作差法比较$S_1$和$S_2$的大小，计算$S_1 - S_2$，根据结果的正负判断两者大小关系：结果小于0则$S_1 ＜ S_2$，大于0则$S_1 ＞ S_2$，等于0则$S_1 = S_2$。
3. 第(3)问①：根据长方形“周长=2×(长+宽)”的公式，分别求出甲、乙的周长，再将两者相加，合并同类项化简得到周长之和。
②先通过正方形周长求出边长，进而得到正方形面积$S_3$的表达式，再将$m=-1$代入$S_3 - S_2$的表达式，计算出最终结果。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式计算：
甲长方形面积$S_{1}=m(m+3)=m^{2}+3m$；
乙长方形面积$S_{2}=(m+2)(m+1)=m^{2}+m+2m+2=m^{2}+3m+2$。
(2) 作差比较大小：
$S_{1}-S_{2}=(m^{2}+3m)-(m^{2}+3m+2)=m^{2}+3m-m^{2}-3m-2=-2$，
因为$-2＜0$，所以$S_{1}＜S_{2}$。
(3) ① 计算周长之和：
甲的周长：$2(m+m+3)=2(2m+3)$，
乙的周长：$2[(m+1)+(m+2)]=2(2m+3)$，
周长之和为：$2(2m+3)+2(2m+3)=4(2m+3)=8m+12$。
② 计算正方形相关数值：
正方形边长：$\frac{8m+12}{4}=2m+3$，
正方形面积$S_{3}=(2m+3)^{2}=4m^{2}+12m+9$，
当$m=-1$时，
$S_{3}-S_{2}=(4m^{2}+12m+9)-(m^{2}+3m+2)$
$=4m^{2}+12m+9-m^{2}-3m-2$
$=3m^{2}+9m+7$，
代入$m=-1$得：$3×(-1)^2+9×(-1)+7=3-9+7=1$。
【答案】
(1) $m^2+3m$；$m^2+3m+2$
(2) $＜$
(3) ① $8m+12$；② $1$
【知识点】
长方形周长面积公式；整式的运算；作差法比较大小
【点评】
本题结合几何图形考查整式的运算，需要熟练掌握长方形、正方形的周长和面积公式，以及整式的乘法、加减法法则，作差法是比较整式大小的常用方法，代入数值计算时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
