1. 如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB = 5，AD = 7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上的点B'处，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB'长的最小值等于__________。
　　　　

2

2. (2023·黄石)如图，有一张矩形纸片ABCD。先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平。再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN。观察所得的线段，若AE = 1，则MN为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. 1
C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D. 2

C

3. (2023·盱眙县期中)如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC的位置，CE与AD交于点F，如果AB = 2，BC = 4，则AF = __________。
　　　　

$\frac{5}{2}$

4. 把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。若AB = 2cm，BC = 4cm，则重叠部分△DEF的面积为__________ $cm^{2}$。
　　　　

$\frac{5}{2}$

5. 如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B'处，连接B'C。
(1)求证：AE//B'C；
(2)若AB = 4，BC = 6，求线段B'C的长。
　　　　　　

(1)证明：$\because E$为$BC$的中点，$\therefore BE = EC$.
由折叠的性质，得$B'E = BE$，$\angle BEA=\angle B'EA$，
$\therefore B'E = EC$，$\therefore \angle EB'C=\angle B'CE$.
$\because \angle BEB'=\angle EB'C+\angle B'CE$，
$\therefore \angle BEA=\angle B'CE$，
$\therefore AE// B'C$.
(2)解：连接$BB'$，交$AE$于点$H$，如答图，
$\because BC = 6$，$E$为$BC$的中点，
$\therefore BE = 3$. 又$\because AB = 4$，
$\therefore AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$.
$\because S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}AE\cdot BH$，
$\therefore BH=\frac{AB\cdot BE}{AE}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}$，则$BB'=\frac{24}{5}$.
$\because B'E = BE = EC$，
$\therefore \angle EBB'=\angle EB'B$，$\angle EB'C=\angle ECB'$.
$\because \angle EBB'+\angle EB'B+\angle EB'C+\angle ECB' = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle EB'B+\angle EB'C = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BB'C = 90^{\circ}$，
$\therefore B'C=\sqrt{BC^{2}-B'B^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\frac{18}{5}$.

6. 在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 4。
(1)如图，P为BC边上一点，将△APB沿直线AP翻折至△APQ的位置，当点Q落在CD边上时，DQ的长为__________；
(2)M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A'，当A'，M，C三点在同一条直线上时，求AM的长。
　

(1) 3
(2)解：如答图①，当点$M$在线段$AB$上时，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB// CD$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDM=\angle AMD$，
根据折叠的性质，得$\angle AMD=\angle A'MD$，
$\therefore \angle CDM=\angle CMD$，$\therefore CD = CM = 5$.
$\because \angle CBM = 90^{\circ}$，$\therefore BM=\sqrt{CM^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
$\therefore AM = AB - BM = 5 - 3 = 2$；
如答图②，当点$M$在$AB$的延长线上时，同法可证$CD = CM = 5$，
$\because \angle CBM = 90^{\circ}$，$CB = 4$，
$\therefore BM=\sqrt{CM^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
$\therefore AM = AB + BM = 5 + 3 = 8$.
综上，$AM$的长为$2$或$8$.