【例1】如图,A,B,C为⊙O上的三个点,∠AOB= 5∠BOC,若∠ACB= 50°,则∠BAC的度数是 ( )
A.20°
B.25°
C.10°
D.15°
A.20°
B.25°
C.10°
D.15°
答案
C
解析
证明：
∵∠ACB与∠AOB分别是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°.
∵∠AOB=5∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{5}$∠AOB=$\frac{1}{5}$×100°=20°.
∵∠BAC与∠BOC分别是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角和圆心角，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×20°=10°.
答案：C
∵∠ACB与∠AOB分别是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°.
∵∠AOB=5∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{5}$∠AOB=$\frac{1}{5}$×100°=20°.
∵∠BAC与∠BOC分别是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角和圆心角，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×20°=10°.
答案：C
【变式】已知在⊙O中,半径OC= 6,∠BAC= 30°,则弦BC的长度为$ ( )
A. 6 B. 3 C. 3\sqrt{3} D. 2\sqrt{6}$
A. 6 B. 3 C. 3\sqrt{3} D. 2\sqrt{6}$答案
A
解析
证明：连接OB。
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°。
∵OB=OC=6，
∴△BOC是等边三角形。
∴BC=OB=6。
A
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°。
∵OB=OC=6，
∴△BOC是等边三角形。
∴BC=OB=6。
A
【例2】如图,AB是⊙O的直径,C,D,E在⊙O上,若∠AED= 20°,则∠BCD的度数为 ______.
答案
110°
解析
证明：连接AD。
∵∠AED=20°，
∴∠ABD=∠AED=20°（同弧所对的圆周角相等）。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）。
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°。
110°
∵∠AED=20°，
∴∠ABD=∠AED=20°（同弧所对的圆周角相等）。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）。
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°。
110°
【变式1】如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连结AC,AD. 若∠BAC= 28°,则∠D的度数是 ( )
A.56°
B.58°
C.60°
D.62°
A.56°
B.58°
C.60°
D.62°
答案
D
解析
证明：连接BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠BAC=28°，
∴∠B=90°-∠BAC=62°。
∵∠D与∠B所对的弧均为$\overset{\frown}{AC}$，
∴∠D=∠B=62°。
D
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠BAC=28°，
∴∠B=90°-∠BAC=62°。
∵∠D与∠B所对的弧均为$\overset{\frown}{AC}$，
∴∠D=∠B=62°。
D
【变式2】如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且D为$\overset{\frown}{AB}$的中点. 若∠D= 30°,BC= 2,则BD的长为 ( )
$A.2\sqrt{2}$
$B.2\sqrt{3}$
$C.\sqrt{6}$
D.3
$A.2\sqrt{2}$
$B.2\sqrt{3}$
$C.\sqrt{6}$
D.3
答案
A
解析
证明：
∵AB是⊙O的直径，D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角），
∴AD=BD，△ADB为等腰直角三角形，∠ABD=45°。
∵∠D=30°，即∠CDB=30°，
又∠CAB=∠CDB=30°（同弧所对圆周角相等），
∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4（30°角所对直角边是斜边一半）。
在Rt△ADB中，AD=BD，AB=4，
由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，即$2BD^2=16$，
解得$BD=2\sqrt{2}$。
答案：A
∵AB是⊙O的直径，D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角），
∴AD=BD，△ADB为等腰直角三角形，∠ABD=45°。
∵∠D=30°，即∠CDB=30°，
又∠CAB=∠CDB=30°（同弧所对圆周角相等），
∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4（30°角所对直角边是斜边一半）。
在Rt△ADB中，AD=BD，AB=4，
由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，即$2BD^2=16$，
解得$BD=2\sqrt{2}$。
答案：A
【例3】如图,AB是⊙O的直径,点C,D,E在⊙O上,若∠DCB= 115°,∠EAB= 55°,且$AB= 4\sqrt{3},$则ED为$ ( )
A. 2\sqrt{6} B. 6 C. 3\sqrt{3} D. 3\sqrt{2}$
A. 2\sqrt{6} B. 6 C. 3\sqrt{3} D. 3\sqrt{2}$答案
B 【解析】连结OE,OD,BE,过点O作OH⊥DE于点H,如图,
∵∠BED+∠C=180°,
∴∠BED=180°-115°=65°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠AED=90°-∠BED=90°-65°=25°,
∴∠AOD=2∠AED=2×25°=50°.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE=55°,
∴∠AOE=180°-55°-55°=70°,
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=70°+50°=120°.
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED=30°.
在Rt△ODH中,OH= $\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$,
∴DH=$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3.
∵OH⊥DE,
∴EH=DH=3,
∴DE=6.
【变式】如图,已知A,B,C,D,E是⊙O上的五个点,圆心O在AD上,∠BCD= 110°,则∠AEB的度数为 ( )
A.70°
B.35°
C.40°
D.20°
A.70°
B.35°
C.40°
D.20°
答案
D
解析
证明：连接AB，BD。
∵A,B,C,D在⊙O上，∠BCD=110°，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠BAD=180°-110°=70°。
∵圆心O在AD上，
∴AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠BAD=90°-70°=20°。
∵∠AEB和∠ADB都对弧AB，
∴∠AEB=∠ADB=20°。
答案：D
∵A,B,C,D在⊙O上，∠BCD=110°，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠BAD=180°-110°=70°。
∵圆心O在AD上，
∴AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠BAD=90°-70°=20°。
∵∠AEB和∠ADB都对弧AB，
∴∠AEB=∠ADB=20°。
答案：D
