3.【例 2】中圈出的 5 个数之和能否为 150？为什么？

解:圈出的5个数之和不能为150.
理由如下:
设圈出的5个数中中间的数为y,则其余的4个数分别为y-1,y+1,y-7,y+7.
根据题意,得
(y-1)+(y+1)+y+(y-7)+(y+7)=150,
解得y=30.
所以y+7=37.
因为月历中没有37,所以圈出的5个数之和不能是150.

【分析】
解题时首先要明确月历中数字的排列规律：同一行左右相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7。十字形圈出的5个数中，中间数是其余4个数的核心，左边数比它小1，右边数比它大1，上边数比它小7，下边数比它大7，因此5个数的和是中间数的5倍。我们可以先设中间数为未知数列方程求解，再验证解得的结果是否符合月历的实际情况（月历最大日期不超过31），若不符合就说明和不可能为150。
【解析】
解：设圈出的5个数中中间的数为y，则其余的4个数分别为$y-1$、$y+1$、$y-7$、$y+7$。
根据5个数之和为150列方程得：
$(y-1)+(y+1)+y+(y-7)+(y+7)=150$
合并同类项得$5y=150$，
系数化为1得$y=30$，
则最下方的数为$y+7=30+7=37$。
因为月历中最大日期不超过31，不存在37这个日期，因此圈出的5个数之和不能为150。
【答案】
圈出的5个数之和不能为150。理由如下：设圈出的5个数中中间的数为y，则其余的4个数分别为$y-1$、$y+1$、$y-7$、$y+7$，根据题意得$(y-1)+(y+1)+y+(y-7)+(y+7)=150$，解得$y=30$，此时$y+7=37$，月历中没有37，所以圈出的5个数之和不能是150。
【知识点】
一元一次方程的应用、合并同类项解方程、月历数字规律
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查一元一次方程的应用，解题关键是找准十字形5个数的数量关系，列方程求解后一定要注意验证解是否符合实际意义，不能仅依靠方程的解直接判断结论。
【难度系数】
0.6

【例 3】在寒冷的天气,为预防感冒,我国民间常将生姜、红糖和水按$2:5:75$的质量比煮成“姜汤”服用.煮一碗$410g$的“姜汤”,需要准备生姜多少克(水分蒸发忽略不计)?

解:设准备生姜2x g,则需要红糖5x g,水75x g.
依题意,得2x+5x+75x=410,
解得x=5.
所以2x=10.
答:需要准备生姜10 g.

【分析】
本题是结合生活场景的比例类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先观察到生姜、红糖、水的质量比为2:5:75，对于已知多量比例的问题，我们通常设每一份的质量为x，这样三个原料的质量都可以用含x的代数式表示；再根据“三种原料总质量等于姜汤的总质量410g”这个等量关系列出一元一次方程，求解得到x的值后，代入生姜质量的代数式即可算出结果。
【解析】
解：设每份质量为x g，则需要准备生姜2x g，红糖5x g，水75x g。
根据三种原料总质量等于姜汤总质量，列方程得：
$2x + 5x + 75x = 410$
合并同类项，得：$82x = 410$
系数化为1，得：$x = 5$
则生姜的质量为$2x = 2×5 = 10$（g）
【答案】
需要准备生姜10 g。
【知识点】
按比例分配、一元一次方程的应用、合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题属于联系生活实际的基础应用题，核心是掌握已知多个量的比例关系时的设元方法，只要找准总质量的等量关系，即可快速列方程求解，实用性较强。
【难度系数】
0.85

对于含有比例的问题,可设每一份为$x$,由已知部分在总量中的比例,用含$x$的代数式表示各部分的量,然后利用相等关系“各部分的量之和 = 总量”列方程解决问题.

答题（以下为示例题目及作答，因原题未给出具体题目，假设题目为：一个线段分为两段，其比例为$2:3$，整段长度为$15$，求两段长度）
设每一份为$x$，则两段线段长度分别为$2x$和$3x$。
根据题意，各部分的量之和等于总量，即：
$2x + 3x = 15$
合并同类项，得：
$5x = 15$
系数化为$1$，得：
$x = 3$
所以，两段线段的长度分别为：
$2x = 6$
$3x = 9$
最终答案为：两段长度分别为$6$和$9$。

【分析】
解决此类已知各部分比例和总量、求各部分数值的问题时，首先要明确解题步骤：第一步设比例中每一份的量为x，按照题目给出的比例，将各部分的量用含x的代数式表示；第二步找到等量关系“各部分的量之和=总量”，据此列出一元一次方程；第三步用合并同类项、系数化为1的方法解出x的值；最后将x代入各部分的代数式，算出各部分的具体数值即可。
【解析】
假设题目为：一个线段分为两段，其比例为$2:3$，整段长度为$15$，求两段长度。
解：设每一份为$x$，则两段线段长度分别为$2x$和$3x$。
根据各部分的量之和等于总量的等量关系，列方程得：
$2x + 3x = 15$
合并同类项，得：
$5x = 15$
系数化为$1$，得：
$x = 3$
所以两段线段的长度分别为：
$2x = 2× 3 = 6$
$3x = 3× 3 = 9$
【答案】
两段长度分别为$6$和$9$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程；比例问题求解；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的比例类方程应用题，核心解题技巧是通过设每一份为x简化各部分量的表示，再结合总量与各部分量的和的关系列方程，熟练掌握合并同类项解方程的基本步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

4. 一个两位数,十位上的数字是个位上数字的 2 倍,且个位上的数字与十位上的数字的和为 6,则这个两位数是______.

42

【分析】
要解这道题，我们可以用列一元一次方程的方法求解。首先明确数位问题的解题逻辑：题目给出了十位数字和个位数字的倍数关系，以及两个数位数字的和，我们可以先设个位上的数字为未知数，根据倍数关系表示出十位上的数字，再根据“两个数字的和为6”列方程，解方程求出两个数位的数字后，按照“两位数=10×十位数字+个位数字”的规则计算出最终的两位数即可。
【解析】
设这个两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$2x$。
根据题意“个位上的数字与十位上的数字的和为6”，可列方程：
$x + 2x = 6$
合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x = 2$
则十位上的数字为$2x = 2×2 = 4$
所以这个两位数为$10×4 + 2 = 42$
【答案】
42
【知识点】
一元一次方程应用；合并同类项解方程；数位表示
【点评】
本题属于基础的一元一次方程应用类题目，解题的关键是准确找到等量关系设未知数列方程，同时要牢记多位数的表示规则，避免直接将两个数位数字拼接导致出错，能够很好地巩固合并同类项解一元一次方程的方法。
【难度系数】
0.8

5. 某中学七(1)班共有 54 人,外出参加植树活动,根据任务的不同,分成甲、乙、丙三个小组,其中乙小组的人数是甲小组人数的 2 倍,乙、丙两小组人数之比为$2:3$,那么甲、乙、丙三个小组各有多少人？

解:设甲小组人数是x,则乙小组人数是2x,丙小组的人数是3x.
由题意,得x+2x+3x=54,
解得x=9.
所以2x=18,3x=27.
答:甲小组有9人,乙小组有18人,丙小组有27人.

【分析】
这是一道利用一元一次方程解决的实际应用题，解题思路如下：首先找到三个小组人数的关联关系，乙小组人数同时和甲、丙小组有比例关系，因此我们可以设甲小组人数为未知数，再根据给出的比例把乙、丙小组的人数都用该未知数表示；接着根据“三个小组总人数为54人”这一等量关系列一元一次方程；最后解方程求出未知数的值，再分别计算三个小组的人数即可。
【解析】
解：设甲小组人数是$x$，则乙小组人数是甲的2倍，即$2x$；
已知乙、丙两小组人数之比为$2:3$，也就是$2x:\mathrm{丙小组人数}=2:3$，因此丙小组人数为$3x$。
由三个小组总人数为54人，可列方程：
$x + 2x + 3x = 54$
合并同类项得：$6x = 54$
系数化为1得：$x = 9$
则乙小组人数：$2x = 2×9 = 18$
丙小组人数：$3x = 3×9 = 27$
【答案】
甲小组有9人，乙小组有18人，丙小组有27人。
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程；比例关系应用
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住公共的比例关系，用同一个未知数表示所有未知量，再结合总人数的等量关系列方程求解，计算过程简单，理清数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

1. 如果$x = m是关于x的方程\frac{1}{2}x - m = 1$的解,那么$m$的值是( )

A.0
B.2
C.-2
D.-6

C

【分析】
解题首先要明确方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=m是原方程的解，我们只需将x替换成m代入原方程，就能得到一个只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（合并同类项、系数化为1），就可以求出m的值。
【解析】
解：
∵$x = m$是方程$\frac{1}{2}x - m = 1$的解
∴将$x=m$代入原方程，可得：
$\frac{1}{2}m - m = 1$
合并同类项，得：
$-\frac{1}{2}m = 1$
系数化为1，两边同时乘$-2$，得：
$m=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题关键是将已知的解代入原方程，把问题转化为求解一元一次方程，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

2. 若☆是新规定的运算符号,定义$a☆b = ab + a + b$,则在$3☆x = -9$中,$x$的值是( )

A.2
B.-2
C.3
D.-3

D

【分析】
遇到新定义运算的题目，首先要准确理解给定的运算规则，本题中$a☆b = ab + a + b$，我们只需将$3☆x$中的$a$替换为3、$b$替换为$x$，就能把新运算转化为我们熟悉的代数式，进而得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a☆b = ab + a + b$，可得：
$3☆x = 3x + 3 + x$
已知$3☆x = -9$，因此列方程：
$3x + 3 + x = -9$
合并同类项，得：
$4x + 3 = -9$
移项，得：
$4x = -9 - 3$
计算右边，得：
$4x = -12$
系数化为1，得：
$x = -3$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查对新定义运算的转化能力和一元一次方程的求解能力，解题关键是正确将新运算规则转化为常规代数运算，再按解方程的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.8

3. 一个三角形三边长之比为$2:3:4$,周长为 36,则这个三角形最长边长是( )

A.8
B.12
C.16
D.32

C

【分析】
遇到已知边长比例和周长求边长的问题，我们可以利用比例设未知数：设每份长度为x，这样三边长就可以用含x的代数式表示，再根据“三角形周长等于三边长之和”这一公式列一元一次方程，解方程求出x的值后，代入最长边的代数式即可得到结果。
【解析】
设三角形三边长分别为2x、3x、4x（x＞0），
根据周长为36可列方程：
$2x + 3x + 4x = 36$
合并同类项，得：$9x = 36$
系数化为1，得：$x = 4$
则最长边为$4x = 4×4 = 16$
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
按比例分配问题；列一元一次方程解应用题；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是方程在几何问题中的基础应用，解题核心是根据比例关系巧设未知数，结合周长的定义列方程求解，解题过程用到了合并同类项解一元一次方程的方法，只要掌握基础的列方程步骤就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

4. 解方程$-3x + (-2x) = -7$的过程如下：
合并同类项,得$-5x = -7$；①
系数化为 1,得$x = \frac{5}{7}$.②
此题第______步出错,应该为______.

② x=$\frac{7}{5}$

【分析】
我们需要依次核对解方程的两个步骤是否符合运算规则：首先验证合并同类项步骤，合并同类项时只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，计算x的系数和判断步骤①是否正确；再验证系数化为1的步骤，系数化为1的依据是等式的性质，即等式两边同时除以未知数的系数，计算结果判断步骤②是否正确，同时写出正确结果。
【解析】
1. 核对步骤①：合并同类项时，x的系数和为$-3+(-2)=-5$，因此合并后得到$-5x=-7$，步骤①运算正确。
2. 核对步骤②：系数化为1时，等式两边同时除以未知数的系数$-5$，可得$x=\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5}$，原步骤②将分子分母位置颠倒，运算错误。
【答案】
②；$x=\frac{7}{5}$
【知识点】
合并同类项法则；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题时要注意系数化为1的运算规则，除以负数时注意符号不要出错，同时避免混淆分子分母的位置。
【难度系数】
0.8