一、由方程到不等式
例 1 $m$ 取何正整数时，关于 $x$ 的方程 $\frac{5x - 3m}{4} = \frac{m}{2} - \frac{15}{4}$ 的解是非正数？
解：原方程去分母，得 $5x - 3m = 2m - 15$，所以 $5x = 5m - 15$，即 $x = m - 3$。
又因为方程的解是非正数，所以 $m - 3 ≤ 0$，所以 $m ≤ 3$。
又因为 $m$ 是正整数，所以 $m = 1,2,3$。
即当 $m = 1,2,3$ 时，该方程的解是非正数。

解：原方程去分母，得$5x - 3m = 2m - 15$，
移项、合并同类项，得$5x = 5m - 15$，
系数化为1，得$x = m - 3$。
因为方程的解是非正数，所以$m - 3 ≤ 0$，
解得$m ≤ 3$。
又因为$m$是正整数，所以$m = 1,2,3$。
即当$m = 1,2,3$时，该方程的解是非正数。

例 2 已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x - 3y = m - 1, \\ x + y = -3m + 7.\end{cases}$
(1) 若方程组的解满足 $x - y ＞ 3m + 11$，求 $m$ 的取值范围；
(2) 当 $m$ 取(1)中最大负整数值时，求 $x - y$ 的值。
解：(1) 方法 1：$\begin{cases}x - 3y = m - 1, \\ x + y = -3m + 7.\end{cases}$
解得 $y = 2 - m,x = 5 - 2m$。
$\because x - y ＞ 3m + 11$，
$\therefore 5 - 2m - 2 + m ＞ 3m + 11$，

$\therefore m ＜ -2$。
方法 2：$\begin{cases}x - 3y = m - 1, &① \\ x + y = -3m + 7. &②\end{cases}$
① + ② 得 $2x - 2y = -2m + 6$，
解得 $x - y = -m + 3$。
代入不等式得 $-m + 3 ＞ 3m + 11$，
解得 $m ＜ -2$。
(2) 由(1)得 $m ＜ -2$。
$\because m$ 取最大负整数，
$\therefore m = -3$，
$\therefore x - y = 5 - 2m - 2 + m = 3 - m = 3 - (-3) = 6$。

解：(1)
方法1：
$\begin{cases}x - 3y = m - 1, \\ x + y = -3m + 7.\end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 5 - 2m \\ y = 2 - m \end{cases}$
$\because x - y ＞ 3m + 11$
$\therefore 5 - 2m - (2 - m) ＞ 3m + 11$
$3 - m ＞ 3m + 11$
$-4m ＞ 8$
$\therefore m ＜ -2$
方法2：
$\begin{cases}x - 3y = m - 1, &① \\ x + y = -3m + 7. &②\end{cases}$
① + ②，得$2x - 2y = -2m + 6$
$\therefore x - y = -m + 3$
$\because x - y ＞ 3m + 11$
$\therefore -m + 3 ＞ 3m + 11$
$-4m ＞ 8$
$\therefore m ＜ -2$
(2)
$\because m ＜ -2$，且$m$为最大负整数
$\therefore m = -3$
$\because x - y = -m + 3$
$\therefore x - y = -(-3) + 3 = 6$

三、由不等式到方程
例 3 已知关于 $x$ 的不等式 $(2a - b)x + 3a - 4b ＜ 0$ 的解集是 $x ＞ \frac{9}{4}$，试求关于 $x$ 的不等式 $(a - 4b)x + 2a - 3b ＜ 0$ 的解集。
解：将 $(2a - b)x + 3a - 4b ＜ 0$ 变形为 $(2a - b)x ＜ 4b - 3a$。
$\because (2a - b)x ＜ 4b - 3a$ 的解集是 $x ＞ \frac{9}{4}$，
$\therefore 2a - b ＜ 0$，

$\therefore x ＞ \frac{4b - 3a}{2a - b}$ 且 $\frac{4b - 3a}{2a - b} = \frac{9}{4}$，
$\therefore \frac{a}{b} = \frac{5}{6}$。
设 $a = 5k,b = 6k$，
$\because 2a - b ＜ 0$，
$\therefore 10k - 6k ＜ 0$，
$\therefore k ＜ 0$。
$\because (a - 4b)x + 2a - 3b ＜ 0$ 可变形为 $(5k - 24k)x + 10k - 18k ＜ 0$，
$\therefore x ＜ -\frac{8}{19}$。

解：将$(2a - b)x + 3a - 4b ＜ 0$变形为$(2a - b)x ＜ 4b - 3a$。
$\because (2a - b)x ＜ 4b - 3a$的解集是$x ＞ \frac{9}{4}$，
$\therefore 2a - b ＜ 0$，
$\therefore x ＞ \frac{4b - 3a}{2a - b}$且$\frac{4b - 3a}{2a - b} = \frac{9}{4}$，
交叉相乘得：$4(4b - 3a) = 9(2a - b)$，
$16b - 12a = 18a - 9b$，
$25b = 30a$，
$\therefore \frac{a}{b} = \frac{5}{6}$。
设$a = 5k$，$b = 6k$，
$\because 2a - b ＜ 0$，
$\therefore 10k - 6k ＜ 0$，
$\therefore k ＜ 0$。
将$a = 5k$，$b = 6k$代入$(a - 4b)x + 2a - 3b ＜ 0$得：
$(5k - 24k)x + 10k - 18k ＜ 0$，
$-19kx - 8k ＜ 0$，
$-19kx ＜ 8k$，
$\because k ＜ 0$，$\therefore -19k ＞ 0$，
$\therefore x ＜ -\frac{8}{19}$。