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8. 下列不等式的变形中，正确的是()。
A.若 $ a ＜ b $，则 $ 1 + a ＜ 1 + b $
B.若 $ a ＜ b $，则 $ ax^2 ＜ bx^2 $
C.若 $ ac ＞ bc $，则 $ a ＞ b $
D.若 $ m ＞ n $，则 $ m - 1 ＜ n - 1 $
A.若 $ a ＜ b $，则 $ 1 + a ＜ 1 + b $
B.若 $ a ＜ b $，则 $ ax^2 ＜ bx^2 $
C.若 $ ac ＞ bc $，则 $ a ＞ b $
D.若 $ m ＞ n $，则 $ m - 1 ＜ n - 1 $
答案
A
解析
A 选项：若 $a ＜ b$，根据不等式的基本性质，两边同时加同一个数，不等号方向不变。
在 $a ＜ b$ 两边同时加$1$，得到 $1 + a ＜ 1 + b$，所以 A 选项正确。
B 选项：若 $a ＜ b$，当$x = 0$时，$ax^2 = bx^2$，此时 $ax^2 ＜ bx^2$不成立，所以 B 选项错误。
C 选项：若 $ac ＞ bc$，当$c ＜ 0$时，根据不等式的基本性质，两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，则 $a ＜ b$，所以 C 选项错误。
D 选项：若 $m ＞ n$，根据不等式的基本性质，两边同时减同一个数，不等号方向不变，则 $m - 1 ＞ n - 1$，所以 D 选项错误。
在 $a ＜ b$ 两边同时加$1$，得到 $1 + a ＜ 1 + b$，所以 A 选项正确。
B 选项：若 $a ＜ b$，当$x = 0$时，$ax^2 = bx^2$，此时 $ax^2 ＜ bx^2$不成立，所以 B 选项错误。
C 选项：若 $ac ＞ bc$，当$c ＜ 0$时，根据不等式的基本性质，两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，则 $a ＜ b$，所以 C 选项错误。
D 选项：若 $m ＞ n$，根据不等式的基本性质，两边同时减同一个数，不等号方向不变，则 $m - 1 ＞ n - 1$，所以 D 选项错误。
9. 若关于 $ x $ 的不等式 $ (1 - a)x ＞ 2 $ 可化为 $ x ＜ \frac{2}{1 - a} $，则 $ a $ 的取值范围是。
答案
$a＞1$
解析
因为不等式$(1 - a)x ＞ 2$可化为$x ＜ \frac{2}{1 - a}$，不等号方向改变，所以$1 - a＜0$，解得$a＞1$。
10. 如果 $ a ＞ b $，那么 $ \frac{1 - 2a}{3} \_\_\_\_\_\_ \frac{1 - 2b}{3} $。(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
答案
$＜$
解析
由 $a ＞ b$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以 -2（负数），不等号方向改变，得到 $-2a ＜ -2b$。
再将两边同时加 1，得到 $1 - 2a ＜ 1 - 2b$。
最后两边同时除以 3（正数），不等号方向不变，得到 $\frac{1 - 2a}{3} ＜ \frac{1 - 2b}{3}$。
再将两边同时加 1，得到 $1 - 2a ＜ 1 - 2b$。
最后两边同时除以 3（正数），不等号方向不变，得到 $\frac{1 - 2a}{3} ＜ \frac{1 - 2b}{3}$。
11. (易错题) 当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ x^2 $，$ x $，$ \frac{1}{x} $ 的大小顺序是。(用“$ ＜ $”连接)
答案
$x^{2} ＜ x ＜ \frac{1}{x}$。
解析
由于 $0 ＜ x ＜ 1$，
首先，比较 $x^2$ 和 $x$，
取 $x$ 为代表值，如 $x = 0.5$，则 $x^2 = 0.25$，显然 $x^2 ＜ x$，
其次，比较 $x$ 和 $\frac{1}{x}$，
同样取 $x = 0.5$，则 $\frac{1}{x} = 2$，显然 $x ＜ \frac{1}{x}$，
综合以上比较，得出 $x^{2} ＜ x ＜ \frac{1}{x}$。
首先，比较 $x^2$ 和 $x$，
取 $x$ 为代表值，如 $x = 0.5$，则 $x^2 = 0.25$，显然 $x^2 ＜ x$，
其次，比较 $x$ 和 $\frac{1}{x}$，
同样取 $x = 0.5$，则 $\frac{1}{x} = 2$，显然 $x ＜ \frac{1}{x}$，
综合以上比较，得出 $x^{2} ＜ x ＜ \frac{1}{x}$。
12. 已知 $ 4x - y = 6 $，$ x - \frac{1}{2}y ＜ 2 $，求 $ x $ 的取值范围。
答案
由$4x - y = 6$，得$y = 4x - 6$。
将$y = 4x - 6$代入$x - \frac{1}{2}y ＜ 2$，
得$x - \frac{1}{2}(4x - 6) ＜ 2$，
去括号，得$x - 2x + 3 ＜ 2$，
合并同类项，得$-x + 3 ＜ 2$，
移项，得$-x ＜ 2 - 3$，
即$-x ＜ -1$，
两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x ＞ 1$。
故$x$的取值范围是$x ＞ 1$。
将$y = 4x - 6$代入$x - \frac{1}{2}y ＜ 2$，
得$x - \frac{1}{2}(4x - 6) ＜ 2$，
去括号，得$x - 2x + 3 ＜ 2$，
合并同类项，得$-x + 3 ＜ 2$，
移项，得$-x ＜ 2 - 3$，
即$-x ＜ -1$，
两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x ＞ 1$。
故$x$的取值范围是$x ＞ 1$。
13. (运算能力)【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a ＞ b $；若 $ a - b = 0 $，则 $ a = b $；若 $ a - b ＜ 0 $，则 $ a ＜ b $。反之也成立。这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
【理解】(1) 若 $ a - b + 2 ＞ 0 $，则 $ a + 1 $$ b - 1 $；(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
【运用】(2) 若 $ M = a^2 + 3b $，$ N = 2a^2 + 3b + 1 $，试比较 $ M $，$ N $ 的大小；
【拓展】(3) 请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题。
制作某产品有两种用料方案：
方案一，用 $ 5 $ 块 $ A $ 型钢板，$ 6 $ 块 $ B $ 型钢板；
方案二，用 $ 4 $ 块 $ A $ 型钢板，$ 7 $ 块 $ B $ 型钢板。
每块 $ A $ 型钢板的面积比每块 $ B $ 型钢板的面积小。方案一的总面积记为 $ S_1 $，方案二的总面积记为 $ S_2 $，试比较 $ S_1 $，$ S_2 $ 的大小。
【理解】(1) 若 $ a - b + 2 ＞ 0 $，则 $ a + 1 $$ b - 1 $；(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
【运用】(2) 若 $ M = a^2 + 3b $，$ N = 2a^2 + 3b + 1 $，试比较 $ M $，$ N $ 的大小；
【拓展】(3) 请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题。
制作某产品有两种用料方案：
方案一，用 $ 5 $ 块 $ A $ 型钢板，$ 6 $ 块 $ B $ 型钢板；
方案二，用 $ 4 $ 块 $ A $ 型钢板，$ 7 $ 块 $ B $ 型钢板。
每块 $ A $ 型钢板的面积比每块 $ B $ 型钢板的面积小。方案一的总面积记为 $ S_1 $，方案二的总面积记为 $ S_2 $，试比较 $ S_1 $，$ S_2 $ 的大小。
答案
(1)＞；(2)M＜N；(3)S₁＜S₂
解析
(1) 由 $a - b + 2 ＞ 0$ 得 $a - b ＞ -2$，则 $(a + 1) - (b - 1) = a - b + 2 ＞ 0$，所以 $a + 1 ＞ b - 1$。
(2) $M - N = (a^2 + 3b) - (2a^2 + 3b + 1) = -a^2 - 1$，因为 $-a^2 - 1 ＜ 0$，所以 $M ＜ N$。
(3) 设每块 A 型钢板面积为 $x$，B 型为 $y$，且 $x ＜ y$。$S_1 = 5x + 6y$，$S_2 = 4x + 7y$，$S_1 - S_2 = x - y$，因为 $x ＜ y$，所以 $x - y ＜ 0$，故 $S_1 ＜ S_2$。
(2) $M - N = (a^2 + 3b) - (2a^2 + 3b + 1) = -a^2 - 1$，因为 $-a^2 - 1 ＜ 0$，所以 $M ＜ N$。
(3) 设每块 A 型钢板面积为 $x$，B 型为 $y$，且 $x ＜ y$。$S_1 = 5x + 6y$，$S_2 = 4x + 7y$，$S_1 - S_2 = x - y$，因为 $x ＜ y$，所以 $x - y ＜ 0$，故 $S_1 ＜ S_2$。
