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【例 1】若过多边形的一个顶点的对角线有 6 条，则该多边形对角线一共有 (
A.18 条
B.14 条
C.20 条
D.27 条
【规律方法】
从 $ n $ 边形的一个顶点出发，可以作 $ (n - 3) $ 条对角线，这 $ (n - 3) $ 条对角线把 $ n $ 边形分成 $ (n - 2) $ 个三角形，$ n $ 边形共有 $ \frac{n × (n - 3)}{2} $ 条对角线.
D
)A.18 条
B.14 条
C.20 条
D.27 条
【规律方法】
从 $ n $ 边形的一个顶点出发，可以作 $ (n - 3) $ 条对角线，这 $ (n - 3) $ 条对角线把 $ n $ 边形分成 $ (n - 2) $ 个三角形，$ n $ 边形共有 $ \frac{n × (n - 3)}{2} $ 条对角线.
答案
【例 1】D
解析
【解析】
根据从$n$边形的一个顶点出发可作$(n - 3)$条对角线，已知该多边形从一个顶点出发的对角线有6条，可得：
$n - 3 = 6$，解得$n = 9$。
再根据$n$边形对角线总数公式$\frac{n(n - 3)}{2}$，代入$n=9$：
$\frac{9×(9 - 3)}{2}=\frac{9×6}{2}=27$（条）。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线公式
【点评】
本题考查多边形对角线的相关计算，需熟练掌握从$n$边形一个顶点出发的对角线条数公式及$n$边形对角线总数公式，通过已知条件先确定多边形的边数，再计算总对角线条数。
【难度系数】
0.6
根据从$n$边形的一个顶点出发可作$(n - 3)$条对角线，已知该多边形从一个顶点出发的对角线有6条，可得：
$n - 3 = 6$，解得$n = 9$。
再根据$n$边形对角线总数公式$\frac{n(n - 3)}{2}$，代入$n=9$：
$\frac{9×(9 - 3)}{2}=\frac{9×6}{2}=27$（条）。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线公式
【点评】
本题考查多边形对角线的相关计算，需熟练掌握从$n$边形一个顶点出发的对角线条数公式及$n$边形对角线总数公式，通过已知条件先确定多边形的边数，再计算总对角线条数。
【难度系数】
0.6
1. 过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 7 个三角形，则这个多边形是 (
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
D
)A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
答案
1. D
解析
【解析】
设该多边形为n边形，根据多边形的性质：过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成(n-2)个三角形。已知分成7个三角形，则n-2=7，解得n=9，因此这个多边形是九边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线性质、n边形分割三角形规律
【点评】
本题考查多边形的基本性质，核心是掌握“过n边形一个顶点的所有对角线将其分成(n-2)个三角形”这一规律，属于基础题型，牢记规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
设该多边形为n边形，根据多边形的性质：过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成(n-2)个三角形。已知分成7个三角形，则n-2=7，解得n=9，因此这个多边形是九边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线性质、n边形分割三角形规律
【点评】
本题考查多边形的基本性质，核心是掌握“过n边形一个顶点的所有对角线将其分成(n-2)个三角形”这一规律，属于基础题型，牢记规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 过 $ m $ 边形的一个顶点可作 7 条对角线，$ n $ 边形没有对角线，五边形有 $ k $ 条对角线，试求 $ (m - k)^n $ 的值.
答案
2. 解: 125.
解析
【解析】
1. 根据过多边形一个顶点的对角线条数公式：过$m$边形一个顶点可作$(m-3)$条对角线，已知该数为7，可得：
$m - 3 = 7$，解得$m = 10$；
2. 三角形没有对角线，故$n = 3$；
3. 根据多边形总对角线条数公式：$n$边形对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$，五边形的对角线条数$k = \frac{5×(5-3)}{2} = 5$；
4. 将$m=10$，$n=3$，$k=5$代入$(m - k)^n$，得：
$(10 - 5)^3 = 5^3 = 125$。
【答案】
125
【知识点】
多边形对角线规律、乘方运算
【点评】
本题考查多边形对角线的性质与乘方运算，需熟练掌握多边形对角线条数的计算方法，准确求出$m$、$n$、$k$的值后再进行乘方运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 根据过多边形一个顶点的对角线条数公式：过$m$边形一个顶点可作$(m-3)$条对角线，已知该数为7，可得：
$m - 3 = 7$，解得$m = 10$；
2. 三角形没有对角线，故$n = 3$；
3. 根据多边形总对角线条数公式：$n$边形对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$，五边形的对角线条数$k = \frac{5×(5-3)}{2} = 5$；
4. 将$m=10$，$n=3$，$k=5$代入$(m - k)^n$，得：
$(10 - 5)^3 = 5^3 = 125$。
【答案】
125
【知识点】
多边形对角线规律、乘方运算
【点评】
本题考查多边形对角线的性质与乘方运算，需熟练掌握多边形对角线条数的计算方法，准确求出$m$、$n$、$k$的值后再进行乘方运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
【例 2】小刚在求一个多边形内角和时，求得这个多边形的内角和为 $ 1125° $.
(1) 小芳看到他的计算结果后，马上就说小刚的计算有误，请你写出小芳的判断理由.
(2) 小刚重新检查后，发现自己真的少加了一个内角，请问这个内角的度数是多少？这个多边形有多少条边呢？
思路分析
思考 1：$ 1125 $ 能被 $ 180 $ 整除吗？
思考 2：设这个多边形的内角和为 $ x $，根据少加了一个内角可以得到什么不等式？
解：
(1) 小芳看到他的计算结果后，马上就说小刚的计算有误，请你写出小芳的判断理由.
(2) 小刚重新检查后，发现自己真的少加了一个内角，请问这个内角的度数是多少？这个多边形有多少条边呢？
思路分析
思考 1：$ 1125 $ 能被 $ 180 $ 整除吗？
思考 2：设这个多边形的内角和为 $ x $，根据少加了一个内角可以得到什么不等式？
解：
答案
【例 2】
思路分析
思考 1: 不能.
思考 2: 1125° ＜ x ＜ 1125° + 180°.
解: (1) 因为 1125 不能被 180 整除, 所以小刚的计算有误.
(2) 少加的这个内角的度数是 135°, 这个多边形有 9 条边.
思路分析
思考 1: 不能.
思考 2: 1125° ＜ x ＜ 1125° + 180°.
解: (1) 因为 1125 不能被 180 整除, 所以小刚的计算有误.
(2) 少加的这个内角的度数是 135°, 这个多边形有 9 条边.
解析
【解析】
(1) 多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为正整数，$n≥3$），因此多边形内角和必为$180°$的整数倍。因为$1125÷180=6.25$，不是整数，所以小刚的计算有误。
(2) 设这个多边形的内角和为$x$，由于少加了一个内角，可得$1125°＜x＜1125°+180°$，即$1125°＜(n-2)×180°＜1305°$。
解不等式得$6.25＜n-2＜7.25$，因为$n$为正整数，所以$n-2=7$，即$n=9$。
该多边形内角和为$(9-2)×180°=1260°$，则少加的内角度数为$1260°-1125°=135°$。
【答案】
(1) 因为多边形内角和必为$180°$的整数倍，$1125°$不是$180°$的整数倍，所以小刚的计算有误。
(2) 这个内角的度数是$135°$，这个多边形有9条边。
【知识点】
多边形内角和公式，不等式的整数解应用
【点评】
本题考查多边形内角和性质与不等式的综合应用，需牢记多边形内角和是$180°$的整数倍，且单个内角范围在$0°$到$180°$之间，通过构建不等式确定边数是解题核心。
【难度系数】
0.6
(1) 多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为正整数，$n≥3$），因此多边形内角和必为$180°$的整数倍。因为$1125÷180=6.25$，不是整数，所以小刚的计算有误。
(2) 设这个多边形的内角和为$x$，由于少加了一个内角，可得$1125°＜x＜1125°+180°$，即$1125°＜(n-2)×180°＜1305°$。
解不等式得$6.25＜n-2＜7.25$，因为$n$为正整数，所以$n-2=7$，即$n=9$。
该多边形内角和为$(9-2)×180°=1260°$，则少加的内角度数为$1260°-1125°=135°$。
【答案】
(1) 因为多边形内角和必为$180°$的整数倍，$1125°$不是$180°$的整数倍，所以小刚的计算有误。
(2) 这个内角的度数是$135°$，这个多边形有9条边。
【知识点】
多边形内角和公式，不等式的整数解应用
【点评】
本题考查多边形内角和性质与不等式的综合应用，需牢记多边形内角和是$180°$的整数倍，且单个内角范围在$0°$到$180°$之间，通过构建不等式确定边数是解题核心。
【难度系数】
0.6
（条件变式）若例 2 中的条件“少加了一个内角”改为“多加了一个内角”，请你求解.
答案
一题多变
解: 多加的这个内角的度数是 45°, 这个多边形有 8 条边.
解: 多加的这个内角的度数是 45°, 这个多边形有 8 条边.
解析
【解析】
设这个多边形的边数为$ n $，多加的内角度数为$ x $（$ 0° ＜ x ＜ 180° $）。根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，结合题意可得：
$(n-2)×180° + x = \mathrm{错误计算的内角和}$（由例2背景可知该内角和为1125°）
因为$ n $为正整数，且$ 0° ＜ x ＜ 180° $，经计算：
当$ x = 45° $时，$(n-2)×180° = 1125° - 45° = 1080°$，解得$ n = 8 $。
【答案】
多加的这个内角的度数是45°，这个多边形有8条边。
【知识点】
多边形内角和公式、整数解判定
【点评】
本题是多边形内角和的条件变式题，重点考查对多边形内角和公式的灵活运用，需结合内角的取值范围确定边数，体现了方程与不等式的综合应用。
【难度系数】
0.3
设这个多边形的边数为$ n $，多加的内角度数为$ x $（$ 0° ＜ x ＜ 180° $）。根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，结合题意可得：
$(n-2)×180° + x = \mathrm{错误计算的内角和}$（由例2背景可知该内角和为1125°）
因为$ n $为正整数，且$ 0° ＜ x ＜ 180° $，经计算：
当$ x = 45° $时，$(n-2)×180° = 1125° - 45° = 1080°$，解得$ n = 8 $。
【答案】
多加的这个内角的度数是45°，这个多边形有8条边。
【知识点】
多边形内角和公式、整数解判定
【点评】
本题是多边形内角和的条件变式题，重点考查对多边形内角和公式的灵活运用，需结合内角的取值范围确定边数，体现了方程与不等式的综合应用。
【难度系数】
0.3
