综合与实践 解读数据背后的秘密
阅读材料:
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题:$1+2+3+··· +100=$? 经过研究,这个问题的一般性结论是$1+2+3+··· +n=\frac{1}{2}n(n+1)$,其中 n 是正整数。
问题提出:
在$1∼ n(n＞1)$这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有多少种取法?
问题解决:
我们研究数学问题时经常采用"特殊到一般"的解决问题的思想,因此我们首先取几个特殊值试试。
(1)在1~5这5个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于5,共有多少种取法? 我们可以这样来研究:若最小的数取1,则另一个数只能取5,有一种取法;若最小的数取2,则另一个数可以取4,5,有两种取法;若最小的数取3,则另一个数可以取4,5,有两种取法;若最小的数取4,则另一个数只能取5,有一种取法。所以共有$1+2+2+1=6$种取法。
(2)在1~6这6个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于6,共有多少种取法? 我们可以这样来研究:若最小的数取1,则另一个数只能取6,有一种取法;若最小的数取2,则另一个数可以取5,6,有两种取法;若最小的数取3,则另一个数可以取4,5,6,有三种取法;若最小的数取4,则另一个数可以取5,6,有两种取法;若最小的数取5,则另一个数只能取6,有一种取法。所以共有$1+2+3+2+1=9$种取法。
请继续探究并直接填写答案:
(3)在1~7这7个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于7,共有种取法。
(4)在1~8这8个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于8,共有种取法。
经过以上尝试,我们就可以找到问题的答案:
①当n为奇数时,在$1∼ n(n＞1)$这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有多少种取法?
根据前面的探究,我们可以列出算式$1+2+3+··· +\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{2}+··· +3+2+1$,化简后,共有种取法。
②当n为偶数时,在$1∼ n(n＞1)$这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有多少种取法? 请你列出算式、化简并写出结论。
新知运用:
某次知识竞赛中,一共有20个小题,依次对应的分值(均为整数)为1~20分。某选手从中任选两题,得分高于20分的可能性共有种。

(3)12 提示:由题干可知,在1~7这7个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于7,共有1+2+3+3+2+1=12种取法。
(4)16 提示:由题干可知,在1~8这8个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于8,共有1+2+3+4+3+2+1=16种取法。
①$\frac{n^{2}-1}{4}$
提示:$1+2+3+···+\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{2}+···+3+2+1$
$=2×(1+2+3+···+\frac{n-1}{2})$
$=2×\frac{1}{2}×\frac{n-1}{2}×(\frac{n-1}{2}+1)$
$=\frac{n^{2}-1}{4}$。
②当n为偶数时,可列算式为:$1+2+3+···+$
$(\frac{n}{2}-1)+\frac{n}{2}+(\frac{n}{2}-1)+···+3+2+1$
$=2×(1+2+3+···+\frac{n}{2})-\frac{n}{2}$
$=2×\frac{1}{2}×\frac{n}{2}×(\frac{n}{2}+1)-\frac{n}{2}$
$=\frac{n^{2}}{4}$。
当n为偶数时,在1~n(n＞1)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有$\frac{n^{2}}{4}$种取法。
新知运用:
100 提示:因为20是偶数,所以应代入$\frac{n^{2}}{4}$中,
即$\frac{20^{2}}{4}=100$(种)。