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10. 如图，长方形$E$的长是宽的$2$倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形. 若正方形$A$，$B$，$C$的面积依次为$5$，$23$，$10$，则正方形$D$的面积为.
答案
8
解析
设正方形D的面积为S。因为所有三角形都是直角三角形，由勾股定理可知，以直角三角形斜边为边长的正方形面积等于以两直角边为边长的正方形面积之和。观察图形，最大正方形B的面积等于正方形A、C、D的面积之和，即23 = 5 + 10 + S，解得S = 8。
11. 勾股定理$a^{2} + b^{2} = c^{2}$本身就是一个关于$a$，$b$，$c$的方程，满足这个方程的正整数解$(a,b,c)$通常叫作勾股数组. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：$(3,4,5)$，$(5,12,13)$，$(7,24,25)$，$···$. 分析上面勾股数组可以发现：$4 = 1 × (3 + 1)$，$12 = 2 × (5 + 1)$，$24 = 3 × (7 + 1)$，$···$. 分析规律，第$5$个勾股数组为.
答案
$(11,60,61)$
解析
根据题中给出的勾股数组：
第一个数组：$a=3$，$b=1×(3+1)=4$，$c=4+1 = 5$；
第二个数组：$a=5$，$b=2×(5 + 1)=12$，$c=12+1=13$；
第三个数组：$a=7$，$b=3×(7 + 1)=24$，$c=24+1=25$。
可以发现$a$的值依次是$3,5,7···$，是首项为$3$，公差为$2$的等差数列，其通项公式为$a_{n}=2n + 1$（$n$表示第$n$个勾股数组）；$b$的值与$n$的关系为$b_{n}=n(a_{n}+1)=n(2n + 1+1)=n(2n + 2)$；$c_{n}=b_{n}+1=n(2n + 2)+1=2n^{2}+2n + 1$。
当$n = 5$时，$a=2×5+1=11$，$b=5×(11 + 1)=5×12 = 60$，$c=60+1=61$。
所以第$5$个勾股数组为$(11,60,61)$。
第一个数组：$a=3$，$b=1×(3+1)=4$，$c=4+1 = 5$；
第二个数组：$a=5$，$b=2×(5 + 1)=12$，$c=12+1=13$；
第三个数组：$a=7$，$b=3×(7 + 1)=24$，$c=24+1=25$。
可以发现$a$的值依次是$3,5,7···$，是首项为$3$，公差为$2$的等差数列，其通项公式为$a_{n}=2n + 1$（$n$表示第$n$个勾股数组）；$b$的值与$n$的关系为$b_{n}=n(a_{n}+1)=n(2n + 1+1)=n(2n + 2)$；$c_{n}=b_{n}+1=n(2n + 2)+1=2n^{2}+2n + 1$。
当$n = 5$时，$a=2×5+1=11$，$b=5×(11 + 1)=5×12 = 60$，$c=60+1=61$。
所以第$5$个勾股数组为$(11,60,61)$。
12. 提升题 在等腰三角形纸片$ABC$中，$AB = AC = 10$，$BC = 12$，将此等腰三角形纸片沿底边$BC$上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则该平行四边形的周长为.
答案
28或32或36
解析
在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，底边BC中线为AD，D为BC中点，故BD=DC=6。由勾股定理得AD=√(AB²-BD²)=√(10²-6²)=8，剪成的两个全等直角三角形三边为6、8、10。用这两个三角形拼平行四边形，有三种拼法：①以6为公共边，邻边为8和10，周长=2×(8+10)=36；②以8为公共边，邻边为6和10，周长=2×(6+10)=32；③以10为公共边，邻边为6和8，周长=2×(6+8)=28。
三、解答题
13. (1) 计算：$2\sqrt{20} + 3\sqrt{45} - \sqrt{80}$；
(2) 已知最简二次根式$\sqrt{3a + 1}$与$\sqrt{7}$可以合并，求$a$的值.
13. (1) 计算：$2\sqrt{20} + 3\sqrt{45} - \sqrt{80}$；
(2) 已知最简二次根式$\sqrt{3a + 1}$与$\sqrt{7}$可以合并，求$a$的值.
答案
(1)
首先，将各项化为最简二次根式：
$2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 × 5} = 2 × 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$，
$3\sqrt{45} = 3\sqrt{9 × 5} = 3 × 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$，
$\sqrt{80} = \sqrt{16 × 5} = 4\sqrt{5}$，
然后，进行加减运算：
$2\sqrt{20} + 3\sqrt{45} - \sqrt{80} = 4\sqrt{5} + 9\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$。
(2)
由于最简二次根式$\sqrt{3a + 1}$与$\sqrt{7}$可以合并，根据合并的条件，它们的被开方数必须相等：
$3a + 1 = 7$，
解这个方程，得到：
$3a = 6$，
$a = 2$。
首先，将各项化为最简二次根式：
$2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 × 5} = 2 × 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$，
$3\sqrt{45} = 3\sqrt{9 × 5} = 3 × 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$，
$\sqrt{80} = \sqrt{16 × 5} = 4\sqrt{5}$，
然后，进行加减运算：
$2\sqrt{20} + 3\sqrt{45} - \sqrt{80} = 4\sqrt{5} + 9\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$。
(2)
由于最简二次根式$\sqrt{3a + 1}$与$\sqrt{7}$可以合并，根据合并的条件，它们的被开方数必须相等：
$3a + 1 = 7$，
解这个方程，得到：
$3a = 6$，
$a = 2$。
14. 已知：如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AB = 15$，$BC = 9$，$AD = 5$，$DC = 13$. 求证：$△ ACD$是直角三角形.
答案
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AB=15$，$BC=9$，由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$AC^{2}+9^{2}=15^{2}$，$AC^{2}=225 - 81=144$，$AC=12$。
在$△ ACD$中，$AD=5$，$DC=13$，$AC=12$。因为$AD^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$DC^{2}=13^{2}=169$，所以$AD^{2}+AC^{2}=DC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形。
在$△ ACD$中，$AD=5$，$DC=13$，$AC=12$。因为$AD^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$DC^{2}=13^{2}=169$，所以$AD^{2}+AC^{2}=DC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形。
15. 计算：$\sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$. 佳佳给出的解题过程如下：
$\begin{aligned}\sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3} &= 2\sqrt{6 × 3} - \sqrt{\dfrac{24}{3}} \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ①\\&= 2\sqrt{18} - \sqrt{8} \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ②\\&= (2 - 1)\sqrt{18 - 8} \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ③\\&= \sqrt{10}. \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ④\end{aligned}$
(1) 佳佳是从第步开始出错的；
(2) 请你给出正确的解题过程.
$\begin{aligned}\sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3} &= 2\sqrt{6 × 3} - \sqrt{\dfrac{24}{3}} \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ①\\&= 2\sqrt{18} - \sqrt{8} \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ②\\&= (2 - 1)\sqrt{18 - 8} \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ③\\&= \sqrt{10}. \quad ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· \quad ④\end{aligned}$
(1) 佳佳是从第步开始出错的；
(2) 请你给出正确的解题过程.
答案
(1) ③
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned} \sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3} \\ = 2\sqrt{6 × 3} - \sqrt{\frac{24}{3}} \\ = 2\sqrt{18} - \sqrt{8} \\ = 2 × 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \\ = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \\ = 4\sqrt{2} \end{aligned}$
综上所述，本题答案是：$4\sqrt{2}$。
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned} \sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3} \\ = 2\sqrt{6 × 3} - \sqrt{\frac{24}{3}} \\ = 2\sqrt{18} - \sqrt{8} \\ = 2 × 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \\ = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \\ = 4\sqrt{2} \end{aligned}$
综上所述，本题答案是：$4\sqrt{2}$。
