【例 3】已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{1}{4}x^{2}-(m - 2)x + m^{2} = 0$。
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求 $ m $ 的取值范围。
（2）若该方程有两个相等的实数根，求 $ m $ 的值及此时方程的根。
（3）若该方程没有实数根，求 $ m $ 的最小整数值。

例 3 解：(1)$\because$关于 $ x $ 的方程 $ \frac{1}{4} x^{2}-(m-2) x+m^{2}=0 $
有两个不相等的实数根，
$\therefore b^{2}-4 a c=[-(m-2)]^{2}-4 × \frac{1}{4} m^{2}=-4 m+4$
$＞0$，
$\therefore m＜1$。
(2)$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore b^{2}-4 a c=[-(m-2)]^{2}-4 × \frac{1}{4} m^{2}=-4 m+4$
$=0$，
$\therefore m=1$，
此时方程为 $ \frac{1}{4} x^{2}+x+1=0 $，即 $ (\frac{1}{2} x+1)^{2}=0 $，
$\therefore x_{1}=x_{2}=-2$。
(3)$\because$方程没有实数根，
$\therefore b^{2}-4 a c=[-(m-2)]^{2}-4 × \frac{1}{4} m^{2}=-4 m+4$
$＜0$，
$\therefore m＞1, \therefore m$ 的最小整数值为 2 。

【变式】关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+4ax - 4 = 0 $ 的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根

变式 A

【例 4】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-3x - 2m^{2} = 0 $。
（1）若 $ m = 1 $，求此方程的根。
（2）若方程的两个实数根分别为 $ α,β $，且 $ α - 3β = 5 $，求 $ m $ 的值。

例 4 解：(1)当 $ m=1 $ 时，原方程为 $ 2 x^{2}-3 x-2=0 $，
解得 $ x_{1}=2, x_{2}=-\frac{1}{2} $。
(2)$\because$方程的两个实数根分别为 $ α, β $，
$\therefore$由根与系数的关系可知 $ α+β=\frac{3}{2}, α β=-m^{2} $。
$\because α-3 β=5$，
联立 $\{\begin{array}{l}α-3 β=5, \\ α+β=\frac{3}{2},\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}α=\frac{19}{8}, \\ β=-\frac{7}{8},\end{array} $
$\therefore α β=-m^{2}=-\frac{133}{64}$，
$\therefore m=\pm \frac{\sqrt{133}}{8}$。

【变式】若 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2}-4x - 3 = 0 $ 的两个根，则 $ 3m + 3n - mn $ 的值是。

变式 15

【例 5】如图，在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 \mathrm{ cm} $，$ BC = 12 \mathrm{ cm} $，点 $ P $ 从点 $ A $ 沿边 $ AB $ 向点 $ B $ 以 $ 1 \mathrm{ cm/s} $ 的速度移动；同时，点 $ Q $ 从点 $ B $ 沿边 $ BC $ 向点 $ C $ 以 $ 2 \mathrm{ cm/s} $ 的速度移动。
（1）几秒后 $ △ PBQ $ 的面积等于 $ 8 \mathrm{ cm}^{2} $？
（2）$ △ PDQ $ 的面积能为 $ 8 \mathrm{ cm}^{2} $ 吗？为什么？

例 5 解：(1)当运动时间为 $ t \mathrm{~s} $ 时，$ A P=t \mathrm{~cm}, B P=(6 $
$-t) \mathrm{cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}, C Q=(12-2 t) \mathrm{cm} $。
根据题意，得 $ \frac{1}{2}(6-t) × 2 t=8 $，
整理得 $ t^{2}-6 t+8=0 $，
解得 $ t_{1}=2, t_{2}=4 $。
答：$ 2 \mathrm{~s} $ 或 $ 4 \mathrm{~s} $ 后 $ △ P B Q $ 的面积等于 $ 8 \mathrm{~cm}^{2} $。
(2)$ △ P D Q $ 的面积不能为 $ 8 \mathrm{~cm}^{2} $，理由如下：
假设 $ △ P D Q $ 的面积为 $ 8 \mathrm{~cm}^{2} $。
由题图知，$ S_{△ P D Q}=S_{\mathrm{长方形 } A B C D}-S_{△ A P D}-S_{△ P B Q} $
$-S_{△ C D Q}$，
即 $ 12 × 6-\frac{1}{2} × 12 t-\frac{1}{2}(6-t) × 2 t-\frac{1}{2} × 6 ×(12- $
$2 t)=8$，
整理得 $ t^{2}-6 t+28=0 $。
$\because b^{2}-4 a c=(-6)^{2}-4 × 1 × 28=-76＜0$，
$\therefore$原方程无解，
$\therefore$假设不成立，即 $ △ P D Q $ 的面积不能为 $ 8 \mathrm{~cm}^{2} $。

【变式 1】某商场对一款无人机进行降价促销，经过两次降价后其售价由最初的 $ 400 $ 元变为 $ 225 $ 元，且两次降价的百分率相同。设每次降价的百分率为 $ x $，可列方程()

A.$ 400(1 - x^{2}) = 225 $
B.$ 225(1 + x)^{2} = 400 $
C.$ 400(1 - x)^{2} = 225 $
D.$ 400(1 - 2x) = 225 $

变式 1 C

【变式 2】某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到 $ 1056 $ 个红包，设群内共有 $ x $ 个人。根据题意可列方程。

变式 2 $ x(x-1)=1056 $