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5. $ (-x^{3})^{6} ÷ (-x^{2})^{4}= $
$x^{10}$
.答案
5. $x^{10}$
解析
【分析】
这道题是幂的混合运算题，解题思路是先利用幂的乘方法则计算出两个乘方项的结果，再运用同底数幂的除法法则进行计算。首先要明确幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，同时注意负数的偶次幂为正数；之后同底数幂相除时，遵循底数不变、指数相减的规则，逐步计算就能得到结果。
【解析】
1. 计算幂的乘方：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，以及负数的偶次幂为正数：
$(-x^3)^6 = (-1)^6×(x^3)^6 = 1× x^{3×6}=x^{18}$
$(-x^2)^4 = (-1)^4×(x^2)^4 = 1× x^{2×4}=x^8$
2. 计算同底数幂的除法：
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）：
$x^{18}÷ x^8=x^{18-8}=x^{10}$
【答案】
$x^{10}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法的运算规则，尤其要注意负数偶次幂的符号处理，避免因符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
这道题是幂的混合运算题，解题思路是先利用幂的乘方法则计算出两个乘方项的结果，再运用同底数幂的除法法则进行计算。首先要明确幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，同时注意负数的偶次幂为正数；之后同底数幂相除时，遵循底数不变、指数相减的规则，逐步计算就能得到结果。
【解析】
1. 计算幂的乘方：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，以及负数的偶次幂为正数：
$(-x^3)^6 = (-1)^6×(x^3)^6 = 1× x^{3×6}=x^{18}$
$(-x^2)^4 = (-1)^4×(x^2)^4 = 1× x^{2×4}=x^8$
2. 计算同底数幂的除法：
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）：
$x^{18}÷ x^8=x^{18-8}=x^{10}$
【答案】
$x^{10}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法的运算规则，尤其要注意负数偶次幂的符号处理，避免因符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
6. $ [(m - n)^{2} · (m - n)^{3}]^{2} ÷ (m - n)^{4}= $
$(m - n)^{6}$
.答案
6. $(m - n)^{6}$
解析
【分析】
这道题是幂的混合运算，解题思路是遵循运算顺序，先处理括号内的运算，再依次计算幂的乘方和同底数幂的除法。首先把$(m-n)$看作一个整体作为底数，回忆幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，按照法则逐步计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}&[(m - n)^{2} · (m - n)^{3}]^{2} ÷ (m - n)^{4}\\=&[(m - n)^{2+3}]^{2} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（运用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加）}\\=&[(m - n)^{5}]^{2} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（计算括号内指数和）}\\=&(m - n)^{5×2} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（运用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘）}\\=&(m - n)^{10} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（计算幂的乘方的指数）}\\=&(m - n)^{10-4}&\mathrm{（运用同底数幂除法法则：底数不变，指数相减）}\\=&(m - n)^{6}&\mathrm{（计算指数差）}\end{aligned}$
【答案】
$(m - n)^{6}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合运用，解题关键是将$(m-n)$视为一个整体，严格按照运算顺序和法则计算，熟练掌握幂的各项运算法则是解题基础。
【难度系数】
0.8
这道题是幂的混合运算，解题思路是遵循运算顺序，先处理括号内的运算，再依次计算幂的乘方和同底数幂的除法。首先把$(m-n)$看作一个整体作为底数，回忆幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，按照法则逐步计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}&[(m - n)^{2} · (m - n)^{3}]^{2} ÷ (m - n)^{4}\\=&[(m - n)^{2+3}]^{2} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（运用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加）}\\=&[(m - n)^{5}]^{2} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（计算括号内指数和）}\\=&(m - n)^{5×2} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（运用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘）}\\=&(m - n)^{10} ÷ (m - n)^{4}&\mathrm{（计算幂的乘方的指数）}\\=&(m - n)^{10-4}&\mathrm{（运用同底数幂除法法则：底数不变，指数相减）}\\=&(m - n)^{6}&\mathrm{（计算指数差）}\end{aligned}$
【答案】
$(m - n)^{6}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合运用，解题关键是将$(m-n)$视为一个整体，严格按照运算顺序和法则计算，熟练掌握幂的各项运算法则是解题基础。
【难度系数】
0.8
7. 若 $ 5x - 3y - 2 = 0 $，则 $ 10^{5x} ÷ 10^{3y}= $
$100$
.答案
7. $100$
解析
【分析】
首先，我们需要利用同底数幂的除法法则将所求式子化简，把指数转化为已知条件中出现的形式。观察到已知等式是关于$5x-3y$的，所以先通过已知等式求出$5x-3y$的值，再代入化简后的式子计算结果。具体思路为：第一步，根据同底数幂除法法则化简原式；第二步，从已知方程中解出$5x-3y$的值；第三步，将得到的指数值代入化简后的式子计算最终结果。
【解析】
1. 根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），对所求式子化简：
$10^{5x} ÷ 10^{3y} = 10^{5x - 3y}$
2. 由已知条件$5x - 3y - 2 = 0$，移项可得：
$5x - 3y = 2$
3. 将$5x - 3y = 2$代入化简后的式子：
$10^{5x - 3y} = 10^2 = 100$
【答案】
$100$
【知识点】
同底数幂的除法，代数式求值
【点评】
本题主要考查同底数幂除法法则的应用以及代数式的求值，关键是通过已知条件求出指数部分的值，再利用幂的运算计算结果，整体代入思想在本题中起到了关键作用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要利用同底数幂的除法法则将所求式子化简，把指数转化为已知条件中出现的形式。观察到已知等式是关于$5x-3y$的，所以先通过已知等式求出$5x-3y$的值，再代入化简后的式子计算结果。具体思路为：第一步，根据同底数幂除法法则化简原式；第二步，从已知方程中解出$5x-3y$的值；第三步，将得到的指数值代入化简后的式子计算最终结果。
【解析】
1. 根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），对所求式子化简：
$10^{5x} ÷ 10^{3y} = 10^{5x - 3y}$
2. 由已知条件$5x - 3y - 2 = 0$，移项可得：
$5x - 3y = 2$
3. 将$5x - 3y = 2$代入化简后的式子：
$10^{5x - 3y} = 10^2 = 100$
【答案】
$100$
【知识点】
同底数幂的除法，代数式求值
【点评】
本题主要考查同底数幂除法法则的应用以及代数式的求值，关键是通过已知条件求出指数部分的值，再利用幂的运算计算结果，整体代入思想在本题中起到了关键作用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 若 $ a^{m}=3 $，$ a^{n}=9 $，则 $ a^{3m - 2n}= $
$\frac{1}{3}$
.答案
8. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要利用幂的运算法则将所求式子转化为已知条件的形式。首先回忆幂的相关法则：同底数幂的除法法则是$a^{x-y}=a^x÷ a^y$，幂的乘方法则是$(a^x)^y=a^{xy}$。观察所求的$a^{3m - 2n}$，可以先将其拆分为$a^{3m}÷ a^{2n}$，再通过幂的乘方把$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，这样就能代入已知的$a^m=3$和$a^n=9$进行计算了。
【解析】
根据幂的运算法则：
1. 利用同底数幂的除法法则变形：$a^{3m - 2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$
2. 利用幂的乘方法则进一步转化：$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$
3. 代入已知条件$a^m=3$，$a^n=9$计算：
$\begin{aligned}a^{3m - 2n}&=(a^m)^3÷(a^n)^2\\&=3^3÷9^2\\&=27÷81\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法的公式，通过合理变形将所求式子转化为已知条件的形式，代入计算即可，属于基础运算题，有助于巩固幂运算的基础知识。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要利用幂的运算法则将所求式子转化为已知条件的形式。首先回忆幂的相关法则：同底数幂的除法法则是$a^{x-y}=a^x÷ a^y$，幂的乘方法则是$(a^x)^y=a^{xy}$。观察所求的$a^{3m - 2n}$，可以先将其拆分为$a^{3m}÷ a^{2n}$，再通过幂的乘方把$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，这样就能代入已知的$a^m=3$和$a^n=9$进行计算了。
【解析】
根据幂的运算法则：
1. 利用同底数幂的除法法则变形：$a^{3m - 2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$
2. 利用幂的乘方法则进一步转化：$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$
3. 代入已知条件$a^m=3$，$a^n=9$计算：
$\begin{aligned}a^{3m - 2n}&=(a^m)^3÷(a^n)^2\\&=3^3÷9^2\\&=27÷81\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法的公式，通过合理变形将所求式子转化为已知条件的形式，代入计算即可，属于基础运算题，有助于巩固幂运算的基础知识。
【难度系数】
0.8
9. 若 $ 9^{m + 3} × 27^{m + 1} ÷ 3^{4m + 7}=81 $，则 $ m = $
$2$
.答案
9. $2$
解析
【分析】
这道题是关于幂的运算的方程题，解题关键是将所有底数统一为3，因为9、27、81都是3的整数次幂。首先回忆幂的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。先把等式两边的数都转化为以3为底数的幂，然后根据等式两边底数相同则指数相等的性质，列出关于m的方程，最后解方程求出m的值。
【解析】
1. 统一底数：
将等式中的各数转化为以3为底数的幂：
$9=3^2$，$27=3^3$，$81=3^4$，代入原式得：
$(3^2)^{m+3} × (3^3)^{m+1} ÷ 3^{4m+7}=3^4$
2. 幂的乘方化简：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，化简左边的幂：
$3^{2(m+3)} × 3^{3(m+1)} ÷ 3^{4m+7}=3^4$
展开指数得：
$3^{2m+6} × 3^{3m+3} ÷ 3^{4m+7}=3^4$
3. 同底数幂的乘除运算：
根据同底数幂的乘除法则，同底数幂相乘指数相加，相除指数相减：
$3^{(2m+6)+(3m+3)-(4m+7)}=3^4$
合并同类项化简指数：
$3^{(2m+3m-4m)+(6+3-7)}=3^4$
$3^{m+2}=3^4$
4. 建立方程求解：
因为等式两边底数都是3（3≠1），所以指数相等：
$m+2=4$
解得：$m=2$
【答案】
$2$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘除运算，指数相等原理
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的综合应用，解题核心是通过统一底数将复杂幂运算转化为指数运算，再利用指数相等建立方程求解。题目注重基础运算能力考查，计算时需注意指数加减的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这道题是关于幂的运算的方程题，解题关键是将所有底数统一为3，因为9、27、81都是3的整数次幂。首先回忆幂的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。先把等式两边的数都转化为以3为底数的幂，然后根据等式两边底数相同则指数相等的性质，列出关于m的方程，最后解方程求出m的值。
【解析】
1. 统一底数：
将等式中的各数转化为以3为底数的幂：
$9=3^2$，$27=3^3$，$81=3^4$，代入原式得：
$(3^2)^{m+3} × (3^3)^{m+1} ÷ 3^{4m+7}=3^4$
2. 幂的乘方化简：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，化简左边的幂：
$3^{2(m+3)} × 3^{3(m+1)} ÷ 3^{4m+7}=3^4$
展开指数得：
$3^{2m+6} × 3^{3m+3} ÷ 3^{4m+7}=3^4$
3. 同底数幂的乘除运算：
根据同底数幂的乘除法则，同底数幂相乘指数相加，相除指数相减：
$3^{(2m+6)+(3m+3)-(4m+7)}=3^4$
合并同类项化简指数：
$3^{(2m+3m-4m)+(6+3-7)}=3^4$
$3^{m+2}=3^4$
4. 建立方程求解：
因为等式两边底数都是3（3≠1），所以指数相等：
$m+2=4$
解得：$m=2$
【答案】
$2$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘除运算，指数相等原理
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的综合应用，解题核心是通过统一底数将复杂幂运算转化为指数运算，再利用指数相等建立方程求解。题目注重基础运算能力考查，计算时需注意指数加减的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
10. 计算：
(1) $ (x - y)^{10} ÷ (y - x)^{5} ÷ (x - y) $；
(2) $ (a^{m})^{n} · (-a^{3m})^{2n} ÷ (a^{mn})^{5} $；
(3) $ 2^{-1} - (-\frac{2}{3})^{-2} + (\frac{3}{2})^{0} $.
(1) $ (x - y)^{10} ÷ (y - x)^{5} ÷ (x - y) $；
(2) $ (a^{m})^{n} · (-a^{3m})^{2n} ÷ (a^{mn})^{5} $；
(3) $ 2^{-1} - (-\frac{2}{3})^{-2} + (\frac{3}{2})^{0} $.
答案
10. (1) $-(x - y)^{4}$ (2) $a^{2mn}$ (3) $-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题包含三个小题，分别考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方与积的乘方运算以及零指数幂和负整数指数幂的运算，解题思路如下：
(1) 首先观察到底数$x-y$与$y-x$互为相反数，利用相反数的性质将底数统一为$x-y$，再根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，逐步计算即可；
(2) 先根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$和积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$分别化简各项，再利用同底数幂的乘除法法则，底数不变，指数相加或相减进行计算；
(3) 依据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$和零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$分别计算每一项，最后进行有理数的加减运算。
【解析】
(1) 原式$=(x-y)^{10}÷[-(x-y)^5]÷(x-y)$
$=-(x-y)^{10-5}÷(x-y)$
$=-(x-y)^5÷(x-y)$
$=-(x-y)^{5-1}$
$=-(x-y)^4$
(2) 原式$=a^{mn}·(-1)^{2n}·a^{3m·2n}÷a^{5mn}$
因为$2n$为偶数，所以$(-1)^{2n}=1$，则：
$=a^{mn}·a^{6mn}÷a^{5mn}$
$=a^{mn+6mn}÷a^{5mn}$
$=a^{7mn}÷a^{5mn}$
$=a^{7mn-5mn}$
$=a^{2mn}$
(3) 原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{(-\frac{2}{3})^2}+1$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{4}{9}}+1$
$=\frac{1}{2}-\frac{9}{4}+1$
$=\frac{2}{4}-\frac{9}{4}+\frac{4}{4}$
$=\frac{2-9+4}{4}$
$=-\frac{3}{4}$
【答案】
(1) $-(x - y)^{4}$；(2) $a^{2mn}$；(3) $-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘除法
2. 幂的乘方与积的乘方
3. 零指数幂与负整数指数幂
【点评】
本题综合考查了整式的幂运算和实数的指数运算，需要熟练掌握各类幂运算的法则，注意底数互为相反数时的转化技巧，以及负整数指数幂和零指数幂的运算条件，计算过程中要细心，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.6
本题包含三个小题，分别考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方与积的乘方运算以及零指数幂和负整数指数幂的运算，解题思路如下：
(1) 首先观察到底数$x-y$与$y-x$互为相反数，利用相反数的性质将底数统一为$x-y$，再根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，逐步计算即可；
(2) 先根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$和积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$分别化简各项，再利用同底数幂的乘除法法则，底数不变，指数相加或相减进行计算；
(3) 依据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$和零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$分别计算每一项，最后进行有理数的加减运算。
【解析】
(1) 原式$=(x-y)^{10}÷[-(x-y)^5]÷(x-y)$
$=-(x-y)^{10-5}÷(x-y)$
$=-(x-y)^5÷(x-y)$
$=-(x-y)^{5-1}$
$=-(x-y)^4$
(2) 原式$=a^{mn}·(-1)^{2n}·a^{3m·2n}÷a^{5mn}$
因为$2n$为偶数，所以$(-1)^{2n}=1$，则：
$=a^{mn}·a^{6mn}÷a^{5mn}$
$=a^{mn+6mn}÷a^{5mn}$
$=a^{7mn}÷a^{5mn}$
$=a^{7mn-5mn}$
$=a^{2mn}$
(3) 原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{(-\frac{2}{3})^2}+1$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{4}{9}}+1$
$=\frac{1}{2}-\frac{9}{4}+1$
$=\frac{2}{4}-\frac{9}{4}+\frac{4}{4}$
$=\frac{2-9+4}{4}$
$=-\frac{3}{4}$
【答案】
(1) $-(x - y)^{4}$；(2) $a^{2mn}$；(3) $-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘除法
2. 幂的乘方与积的乘方
3. 零指数幂与负整数指数幂
【点评】
本题综合考查了整式的幂运算和实数的指数运算，需要熟练掌握各类幂运算的法则，注意底数互为相反数时的转化技巧，以及负整数指数幂和零指数幂的运算条件，计算过程中要细心，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.6
11. 已知 $ 3^{2m}=5 $，$ 3^{n}=10 $.
求：(1) $ 9^{m - n} $；
(2) $ 9^{2m - n} $.
求：(1) $ 9^{m - n} $；
(2) $ 9^{2m - n} $.
答案
11. (1) $\frac{1}{20}$ (2) $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
首先观察目标式是9的幂，而9=3²，因此可以先将9转化为3的平方，利用幂的乘方法则将目标式转化为以3为底数的幂的形式；再根据同底数幂的除法法则，将指数相减的形式转化为幂的除法，进而拆分为与已知条件$3^{2m}=5$、$3^{n}=10$相关的式子，最后代入数值计算即可。具体来说：
1. 对于$9^{m - n}$，先转化为$(3^2)^{m-n}$，再变形为$3^{2m-2n}$，拆分为$\frac{3^{2m}}{3^{2n}}$，其中$3^{2n}=(3^n)^2$，代入已知值计算；
2. 对于$9^{2m - n}$，同理转化为$(3^2)^{2m-n}$，变形为$3^{4m-2n}$，拆分为$\frac{(3^{2m})^2}{(3^n)^2}$，再代入已知值计算。
【解析】
(1) 计算$9^{m - n}$：
因为$9=3^2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$9^{m - n}=(3^2)^{m - n}=3^{2(m - n)}=3^{2m - 2n}$
根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，可得：
$3^{2m - 2n}=\frac{3^{2m}}{3^{2n}}$
又因为$3^{2n}=(3^n)^2$（幂的乘方法则逆用），将$3^{2m}=5$，$3^n=10$代入：
原式$=\frac{5}{10^2}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$
(2) 计算$9^{2m - n}$：
同理，$9^{2m - n}=(3^2)^{2m - n}=3^{2(2m - n)}=3^{4m - 2n}$
根据同底数幂的除法法则，可得：
$3^{4m - 2n}=\frac{3^{4m}}{3^{2n}}=\frac{(3^{2m})^2}{(3^n)^2}$（幂的乘方法则逆用）
将$3^{2m}=5$，$3^n=10$代入：
原式$=\frac{5^2}{10^2}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $\frac{1}{20}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的除法运算
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的综合应用，解题关键是将底数为9的幂转化为底数为3的幂，从而建立与已知条件的联系，需要学生熟练掌握幂的乘方、同底数幂除法的法则及其逆用，提升幂运算的变形能力。
【难度系数】
0.6
首先观察目标式是9的幂，而9=3²，因此可以先将9转化为3的平方，利用幂的乘方法则将目标式转化为以3为底数的幂的形式；再根据同底数幂的除法法则，将指数相减的形式转化为幂的除法，进而拆分为与已知条件$3^{2m}=5$、$3^{n}=10$相关的式子，最后代入数值计算即可。具体来说：
1. 对于$9^{m - n}$，先转化为$(3^2)^{m-n}$，再变形为$3^{2m-2n}$，拆分为$\frac{3^{2m}}{3^{2n}}$，其中$3^{2n}=(3^n)^2$，代入已知值计算；
2. 对于$9^{2m - n}$，同理转化为$(3^2)^{2m-n}$，变形为$3^{4m-2n}$，拆分为$\frac{(3^{2m})^2}{(3^n)^2}$，再代入已知值计算。
【解析】
(1) 计算$9^{m - n}$：
因为$9=3^2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$9^{m - n}=(3^2)^{m - n}=3^{2(m - n)}=3^{2m - 2n}$
根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，可得：
$3^{2m - 2n}=\frac{3^{2m}}{3^{2n}}$
又因为$3^{2n}=(3^n)^2$（幂的乘方法则逆用），将$3^{2m}=5$，$3^n=10$代入：
原式$=\frac{5}{10^2}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$
(2) 计算$9^{2m - n}$：
同理，$9^{2m - n}=(3^2)^{2m - n}=3^{2(2m - n)}=3^{4m - 2n}$
根据同底数幂的除法法则，可得：
$3^{4m - 2n}=\frac{3^{4m}}{3^{2n}}=\frac{(3^{2m})^2}{(3^n)^2}$（幂的乘方法则逆用）
将$3^{2m}=5$，$3^n=10$代入：
原式$=\frac{5^2}{10^2}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $\frac{1}{20}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的除法运算
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的综合应用，解题关键是将底数为9的幂转化为底数为3的幂，从而建立与已知条件的联系，需要学生熟练掌握幂的乘方、同底数幂除法的法则及其逆用，提升幂运算的变形能力。
【难度系数】
0.6
1. 已知 $ 10^{a}=200 $，$ 10^{b}=\frac{1}{5} $，根据现有知识，不用求出 $ a $ 和 $ b $ 的值，就能求出 $ 2^{a} ÷ 2^{b} $ 的值，你知道是怎么计算的吗？
答案
1. 解:因为$10^{a} = 200$，$10^{b} = \frac{1}{5}$，
所以$10^{a} ÷ 10^{b} = 10^{a - b}$
$=200 ÷ \frac{1}{5}$
$=1000$
$=10^{3}$
所以$a - b = 3$
所以$2^{a} ÷ 2^{b} = 2^{a - b} = 2^{3} = 8$
所以$10^{a} ÷ 10^{b} = 10^{a - b}$
$=200 ÷ \frac{1}{5}$
$=1000$
$=10^{3}$
所以$a - b = 3$
所以$2^{a} ÷ 2^{b} = 2^{a - b} = 2^{3} = 8$
解析
【分析】
要计算$2^{a} ÷ 2^{b}$，根据同底数幂的除法法则，它可转化为$2^{a-b}$，因此关键是求出$a-b$的值。已知$10^{a}$和$10^{b}$的具体值，我们可以利用同底数幂的除法法则计算$10^{a}÷10^{b}$，得到$10^{a-b}$的结果，再根据“底数不为1和0的同底数幂相等时，指数相等”的性质，就能求出$a-b$，最后将其代入$2^{a-b}$即可得到答案。
【解析】
解：因为$10^{a}=200$，$10^{b}=\frac{1}{5}$，
所以$10^{a} ÷ 10^{b} = 10^{a - b}$
$=200 ÷ \frac{1}{5}$
$=200×5=1000$
$=10^{3}$
所以$a - b = 3$
因此$2^{a} ÷ 2^{b} = 2^{a - b} = 2^{3} = 8$
【答案】
8
【知识点】
同底数幂的除法；指数的性质
【点评】
本题主要考查同底数幂除法法则的灵活运用，通过观察已知条件与所求式子的联系，将问题转化为求$a-b$的值，体现了整体代入的数学思想，有助于提升学生的逻辑推理和转化能力。
【难度系数】
0.6
要计算$2^{a} ÷ 2^{b}$，根据同底数幂的除法法则，它可转化为$2^{a-b}$，因此关键是求出$a-b$的值。已知$10^{a}$和$10^{b}$的具体值，我们可以利用同底数幂的除法法则计算$10^{a}÷10^{b}$，得到$10^{a-b}$的结果，再根据“底数不为1和0的同底数幂相等时，指数相等”的性质，就能求出$a-b$，最后将其代入$2^{a-b}$即可得到答案。
【解析】
解：因为$10^{a}=200$，$10^{b}=\frac{1}{5}$，
所以$10^{a} ÷ 10^{b} = 10^{a - b}$
$=200 ÷ \frac{1}{5}$
$=200×5=1000$
$=10^{3}$
所以$a - b = 3$
因此$2^{a} ÷ 2^{b} = 2^{a - b} = 2^{3} = 8$
【答案】
8
【知识点】
同底数幂的除法；指数的性质
【点评】
本题主要考查同底数幂除法法则的灵活运用，通过观察已知条件与所求式子的联系，将问题转化为求$a-b$的值，体现了整体代入的数学思想，有助于提升学生的逻辑推理和转化能力。
【难度系数】
0.6
2. 课堂上老师出了一道题，已知 $ (2x - 3)^{x + 3}-1 = 0 $，求 $ x $ 的值，小明同学的解答如下：
因为 $ (2x - 3)^{x + 3}-1 = 0 $，
所以 $ (2x - 3)^{x + 3}=1 $.
因为 $ (2x - 3)^{0}=1 $，
所以 $ x + 3 = 0 $，
所以 $ x = -3 $.
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的 $ x $ 的值.
因为 $ (2x - 3)^{x + 3}-1 = 0 $，
所以 $ (2x - 3)^{x + 3}=1 $.
因为 $ (2x - 3)^{0}=1 $，
所以 $ x + 3 = 0 $，
所以 $ x = -3 $.
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的 $ x $ 的值.
答案
2. 解:不正确，正确解答如下:
因为$(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$
所以$(2x - 3)^{x + 3} = 1$
所以$x + 3 = 0$且$2x - 3 ≠ 0$或$2x - 3 = 1$
或$2x - 3 = -1$且$x + 3$为偶数，
解得$x = -3$或$x = 2$或$x = 1$。
因为$(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$
所以$(2x - 3)^{x + 3} = 1$
所以$x + 3 = 0$且$2x - 3 ≠ 0$或$2x - 3 = 1$
或$2x - 3 = -1$且$x + 3$为偶数，
解得$x = -3$或$x = 2$或$x = 1$。
解析
【分析】
小明的解答不正确，因为他只考虑了“任何非零数的0次幂等于1”这一种情况，忽略了另外两种能使幂的结果为1的情况：①底数为1时，无论指数是多少，幂的结果都是1；②底数为-1时，指数为偶数时幂的结果为1。所以解题时需要分这三种情况进行分类讨论，逐一求解并验证，才能得到所有符合条件的x值。
【解析】
解：小明的解答过程不正确，正确解答如下：
因为$(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，
所以$(2x - 3)^{x + 3} = 1$。
分三种情况讨论：
1. 当指数为0且底数不为0时：
$\begin{cases}x + 3 = 0 \\2x - 3 ≠ 0\end{cases}$
解得$x = -3$，且$2×(-3)-3=-9≠0$，符合条件；
2. 当底数为1时：
$2x - 3 = 1$
解得$x = 2$，此时指数$x+3=5$，$1^5=1$，符合条件；
3. 当底数为-1且指数为偶数时：
$\begin{cases}2x - 3 = -1 \\x + 3 \mathrm{ 为偶数}\end{cases}$
由$2x - 3 = -1$解得$x = 1$，此时指数$x+3=4$，是偶数，$(-1)^4=1$，符合条件。
综上，$x$的值为$-3$或$2$或$1$。
【答案】
$x=-3$或$x=2$或$x=1$
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方运算、分类讨论思想
【点评】
小明的错误在于思考不全面，仅考虑了零指数幂的情况，遗漏了底数为1和底数为-1且指数为偶数这两种情况。解决此类幂等于1的问题时，需分类讨论所有可能的情况，确保不遗漏解，同时要注意每种情况的限制条件（如零指数幂的底数不能为0）。
【难度系数】
0.4
小明的解答不正确，因为他只考虑了“任何非零数的0次幂等于1”这一种情况，忽略了另外两种能使幂的结果为1的情况：①底数为1时，无论指数是多少，幂的结果都是1；②底数为-1时，指数为偶数时幂的结果为1。所以解题时需要分这三种情况进行分类讨论，逐一求解并验证，才能得到所有符合条件的x值。
【解析】
解：小明的解答过程不正确，正确解答如下：
因为$(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，
所以$(2x - 3)^{x + 3} = 1$。
分三种情况讨论：
1. 当指数为0且底数不为0时：
$\begin{cases}x + 3 = 0 \\2x - 3 ≠ 0\end{cases}$
解得$x = -3$，且$2×(-3)-3=-9≠0$，符合条件；
2. 当底数为1时：
$2x - 3 = 1$
解得$x = 2$，此时指数$x+3=5$，$1^5=1$，符合条件；
3. 当底数为-1且指数为偶数时：
$\begin{cases}2x - 3 = -1 \\x + 3 \mathrm{ 为偶数}\end{cases}$
由$2x - 3 = -1$解得$x = 1$，此时指数$x+3=4$，是偶数，$(-1)^4=1$，符合条件。
综上，$x$的值为$-3$或$2$或$1$。
【答案】
$x=-3$或$x=2$或$x=1$
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方运算、分类讨论思想
【点评】
小明的错误在于思考不全面，仅考虑了零指数幂的情况，遗漏了底数为1和底数为-1且指数为偶数这两种情况。解决此类幂等于1的问题时，需分类讨论所有可能的情况，确保不遗漏解，同时要注意每种情况的限制条件（如零指数幂的底数不能为0）。
【难度系数】
0.4
