登录
10. (★)(2024·包头)若$2m - 1,m,4 - m$这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,则m的取值范围是【 】
A.$m ＜ 2$
B.$m ＜ 1$
C.$1 ＜ m ＜ 2$
D.$1 ＜ m ＜ \frac{5}{3}$
A.$m ＜ 2$
B.$m ＜ 1$
C.$1 ＜ m ＜ 2$
D.$1 ＜ m ＜ \frac{5}{3}$
答案
B
解析
根据题意，三个实数在数轴上从左到右依次排列，即满足不等式组：
$2m - 1 ＜ m ＜ 4 - m$，
将上述不等式组拆分为两个不等式进行求解：
$2m - 1 ＜ m$，
移项得：
$m ＜ 1 +0$（实际上是$m-0＜1-0$的简化，即$m＜1$的移项过程，但直接写出结果），
即$m ＜ 1$（需结合另一个不等式的结果）；
$m ＜ 4 - m$，
移项并合并同类项得：
$2m ＜ 4$，
即$m ＜ 2$；
同时，由于$m$在中间，所以还需要满足：
$2m-1＜4-m$（这个其实在第一个不等式已经隐含，但为全面考虑数轴排列，可验证其不影响结果），
移项得：
$3m＜5$，
即：
$m＜\frac{5}{3}$，
但由于第一个不等式$m＜1$已经比$m＜\frac{5}{3}$更严格，所以不需再考虑；
综合以上不等式，得到不等式组的解集为：
$m ＜ 1$（来自第一个不等式）与$m＜2$（第二个不等式，但实际由第一个不等式更严格地限制了$m＜1$）的交集，同时考虑到$m$需要同时满足小于1且小于2，且因为需要满足$2m-1$（最小）小于$m$（中间）小于$4-m$（最大），当$m=1$时，$2m-1=1$，并不小于$m$，所以必须$m＜1$才能满足所有条件，而另一个条件$m＜\frac{5}{3}$在$m＜1$时自然满足，因此，最终解集为：
$1-1（即0+的下一个整数，但实际为开区间）＜实际起始为负无穷）到1（不包括1）$，但由于我们需要的是三个数严格从左到右排列，所以当$m=1$时，并不满足，故解集为$m ＜ 1$的同时，还需保证$2m-1$作为最左端小于$m$，这个条件在$m＜1$时已经满足，且当$m$趋近于负无穷时，依然满足，但另一个隐含条件是$m$作为实数，没有上界除了由$m＜1$给出的，而为了确保$m$在中间，我们需要有$m- (2m-1) ＞0$（即任意两个相邻数之差大于0），这个在$m＜1$时恒成立，且$4-m-m＞0$，即$m＜2$，也在$m＜1$时恒成立，所以最终不等式组的解为：
$m ＜ 1$ 且由于需要存在这样的$m$，且当$m$趋近于1时，$2m-1$趋近于1，$m$趋近于1，$4-m$趋近于3，仍然满足从左到右，但$m$不能等于1，所以解集是：
$m ＜ 1$ 的所有实数中，还需满足题目中的“三个数”都存在的条件，即没有额外的限制使$m$无解，所以最终解集就是：
$1-（不包含）之前的所有数，即 m＜1$，但我们需要更精确，因为当$m$很小时，比如负数，$2m-1$会更小，$m$为负，$4-m$会更大，依然满足，但我们需要找到的是使这三个数在数轴上严格从左到右的$m$的范围，而由$m＜1$和$m＜2$以及$m＜\frac{5}{3}$，最严格的是$m＜1$，然而我们还需要考虑$2m-1$和$m$的关系已经给出$m$必须大于某个值才能使$2m-1$小于$m$？实际上不需要，因为当$m=0.5$时，$2m-1=0$，小于$m=0.5$，满足，当$m=0$时，$2m-1=-1$，小于$m=0$，也满足，当$m$趋近于负无穷时，依然满足，所以看起来$m$可以小于1的任何数，但我们还需要看另一个条件：$m$作为中间数，必须小于$4-m$，这个在$m＜2$时成立，而在$m＜1$时自然成立，然而，我们还需要确保$2m-1$小于$4-m$，即：
$2m - 1 ＜ 4 - m$，
$3m ＜ 5$，
$m ＜ \frac{5}{3}$，
这个条件在$m＜1$时也是成立的，因为1小于$\frac{5}{3}$，所以，我们还需要一个条件来“限制”$m$不能太小以至于使$m$和$2m-1$的位置颠倒？实际上不需要，因为当$m$减小时，$2m-1$减小得更快，所以它们之间的相对位置不会改变，真正限制$m$的是它必须小于1，同时，我们还需要保证$m$大于某个值吗？不，因为当$m$趋近于负无穷时，三个数的位置关系仍然保持，所以看起来$m$可以取小于1的任何实数，但我们需要更仔细地看题目，题目要求的是三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，这意味着它们必须都是实数，且互不相等（否则就会有两个点重合），所以$m$不能等于1（否则$2m-1$和$m$会重合），也不能等于其他使两个数相等的值，解方程$2m-1=4-m$，得$m=\frac{5}{3}$，但这个值不在$m＜1$的范围内，所以不需要考虑，因此，我们只需要考虑$m＜1$，然而，我们还需要确保$m$作为实数，且使$4-m$大于$m$，这个在$m＜2$时成立，在$m＜1$时也成立，所以最终我们得到：
为了使三个数严格从左到右排列，必须有$m ＜ 1$，同时，由于当$m=1$时，$2m-1=m$，不满足严格小于，且当$m$增大到接近但小于1时，仍然满足，而当$m$减小到负无穷时，也满足，所以解集是：
$m ＜ 1$，
但是选项中没有直接给出$m＜1$，我们需要看选项，由于题目是多选题（实际为单选题，给出选项）的形式，我们需要选择包含这个解集的选项，A选项$m＜2$包含了$m＜1$，但也包含了$1≤ m＜2$，这部分不满足条件，因为当$m$在$1$和$2$之间时，比如$m=1.5$，则$2m-1=2$，$m=1.5$，$4-m=2.5$，此时$2m-1=2$并不小于$m=1.5$（实际上$2＞1.5$），所以不满足从左到右依次排列，所以A选项不对；B选项$m＜1$正好是我们的解集；C选项$1＜m＜2$不满足条件，如上所述；D选项$1＜m＜\frac{5}{3}$也不满足，因为当$m$在这个范围内时，$2m-1$会大于或等于$m$（在$m=1$时相等，在$m＞1$时大于），所以不满足。
因此，我们选择B选项，但需要明确，我们的解集是$m＜1$，且这是唯一满足所有条件的解集。
不过为了与选项对应，我们直接给出：
综合以上分析，m的取值范围是$m ＜ 1$。
$2m - 1 ＜ m ＜ 4 - m$，
将上述不等式组拆分为两个不等式进行求解：
$2m - 1 ＜ m$，
移项得：
$m ＜ 1 +0$（实际上是$m-0＜1-0$的简化，即$m＜1$的移项过程，但直接写出结果），
即$m ＜ 1$（需结合另一个不等式的结果）；
$m ＜ 4 - m$，
移项并合并同类项得：
$2m ＜ 4$，
即$m ＜ 2$；
同时，由于$m$在中间，所以还需要满足：
$2m-1＜4-m$（这个其实在第一个不等式已经隐含，但为全面考虑数轴排列，可验证其不影响结果），
移项得：
$3m＜5$，
即：
$m＜\frac{5}{3}$，
但由于第一个不等式$m＜1$已经比$m＜\frac{5}{3}$更严格，所以不需再考虑；
综合以上不等式，得到不等式组的解集为：
$m ＜ 1$（来自第一个不等式）与$m＜2$（第二个不等式，但实际由第一个不等式更严格地限制了$m＜1$）的交集，同时考虑到$m$需要同时满足小于1且小于2，且因为需要满足$2m-1$（最小）小于$m$（中间）小于$4-m$（最大），当$m=1$时，$2m-1=1$，并不小于$m$，所以必须$m＜1$才能满足所有条件，而另一个条件$m＜\frac{5}{3}$在$m＜1$时自然满足，因此，最终解集为：
$1-1（即0+的下一个整数，但实际为开区间）＜实际起始为负无穷）到1（不包括1）$，但由于我们需要的是三个数严格从左到右排列，所以当$m=1$时，并不满足，故解集为$m ＜ 1$的同时，还需保证$2m-1$作为最左端小于$m$，这个条件在$m＜1$时已经满足，且当$m$趋近于负无穷时，依然满足，但另一个隐含条件是$m$作为实数，没有上界除了由$m＜1$给出的，而为了确保$m$在中间，我们需要有$m- (2m-1) ＞0$（即任意两个相邻数之差大于0），这个在$m＜1$时恒成立，且$4-m-m＞0$，即$m＜2$，也在$m＜1$时恒成立，所以最终不等式组的解为：
$m ＜ 1$ 且由于需要存在这样的$m$，且当$m$趋近于1时，$2m-1$趋近于1，$m$趋近于1，$4-m$趋近于3，仍然满足从左到右，但$m$不能等于1，所以解集是：
$m ＜ 1$ 的所有实数中，还需满足题目中的“三个数”都存在的条件，即没有额外的限制使$m$无解，所以最终解集就是：
$1-（不包含）之前的所有数，即 m＜1$，但我们需要更精确，因为当$m$很小时，比如负数，$2m-1$会更小，$m$为负，$4-m$会更大，依然满足，但我们需要找到的是使这三个数在数轴上严格从左到右的$m$的范围，而由$m＜1$和$m＜2$以及$m＜\frac{5}{3}$，最严格的是$m＜1$，然而我们还需要考虑$2m-1$和$m$的关系已经给出$m$必须大于某个值才能使$2m-1$小于$m$？实际上不需要，因为当$m=0.5$时，$2m-1=0$，小于$m=0.5$，满足，当$m=0$时，$2m-1=-1$，小于$m=0$，也满足，当$m$趋近于负无穷时，依然满足，所以看起来$m$可以小于1的任何数，但我们还需要看另一个条件：$m$作为中间数，必须小于$4-m$，这个在$m＜2$时成立，而在$m＜1$时自然成立，然而，我们还需要确保$2m-1$小于$4-m$，即：
$2m - 1 ＜ 4 - m$，
$3m ＜ 5$，
$m ＜ \frac{5}{3}$，
这个条件在$m＜1$时也是成立的，因为1小于$\frac{5}{3}$，所以，我们还需要一个条件来“限制”$m$不能太小以至于使$m$和$2m-1$的位置颠倒？实际上不需要，因为当$m$减小时，$2m-1$减小得更快，所以它们之间的相对位置不会改变，真正限制$m$的是它必须小于1，同时，我们还需要保证$m$大于某个值吗？不，因为当$m$趋近于负无穷时，三个数的位置关系仍然保持，所以看起来$m$可以取小于1的任何实数，但我们需要更仔细地看题目，题目要求的是三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，这意味着它们必须都是实数，且互不相等（否则就会有两个点重合），所以$m$不能等于1（否则$2m-1$和$m$会重合），也不能等于其他使两个数相等的值，解方程$2m-1=4-m$，得$m=\frac{5}{3}$，但这个值不在$m＜1$的范围内，所以不需要考虑，因此，我们只需要考虑$m＜1$，然而，我们还需要确保$m$作为实数，且使$4-m$大于$m$，这个在$m＜2$时成立，在$m＜1$时也成立，所以最终我们得到：
为了使三个数严格从左到右排列，必须有$m ＜ 1$，同时，由于当$m=1$时，$2m-1=m$，不满足严格小于，且当$m$增大到接近但小于1时，仍然满足，而当$m$减小到负无穷时，也满足，所以解集是：
$m ＜ 1$，
但是选项中没有直接给出$m＜1$，我们需要看选项，由于题目是多选题（实际为单选题，给出选项）的形式，我们需要选择包含这个解集的选项，A选项$m＜2$包含了$m＜1$，但也包含了$1≤ m＜2$，这部分不满足条件，因为当$m$在$1$和$2$之间时，比如$m=1.5$，则$2m-1=2$，$m=1.5$，$4-m=2.5$，此时$2m-1=2$并不小于$m=1.5$（实际上$2＞1.5$），所以不满足从左到右依次排列，所以A选项不对；B选项$m＜1$正好是我们的解集；C选项$1＜m＜2$不满足条件，如上所述；D选项$1＜m＜\frac{5}{3}$也不满足，因为当$m$在这个范围内时，$2m-1$会大于或等于$m$（在$m=1$时相等，在$m＞1$时大于），所以不满足。
因此，我们选择B选项，但需要明确，我们的解集是$m＜1$，且这是唯一满足所有条件的解集。
不过为了与选项对应，我们直接给出：
综合以上分析，m的取值范围是$m ＜ 1$。
11. (★★)(1)(2024·凉山州改编)$-3 ＜ 4x - 7 ≤ 9$的整数解为.
(2)(2024·龙东地区)关于x的不等式组$\begin{cases}4 - 2x ≥ 0,\frac{1}{2}x - a ＞ 0\end{cases}$恰有3个整数解,则a的取值范围是 ______ .
(2)(2024·龙东地区)关于x的不等式组$\begin{cases}4 - 2x ≥ 0,\frac{1}{2}x - a ＞ 0\end{cases}$恰有3个整数解,则a的取值范围是 ______ .
答案
(1)2，3，4；(2)$-\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$
解析
(1) 解不等式$-3 ＜ 4x - 7 ≤ 9$：
两边同时加7，得$4 ＜ 4x ≤ 16$，
两边同时除以4，得$1 ＜ x ≤ 4$，
整数解为2，3，4。
(2) 解不等式组：
由$4 - 2x ≥ 0$，得$x ≤ 2$；
由$\frac{1}{2}x - a ＞ 0$，得$x ＞ 2a$。
不等式组解集为$2a ＜ x ≤ 2$，恰有3个整数解0，1，2。
则$-1 ≤ 2a ＜ 0$，解得$-\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$。
两边同时加7，得$4 ＜ 4x ≤ 16$，
两边同时除以4，得$1 ＜ x ≤ 4$，
整数解为2，3，4。
(2) 解不等式组：
由$4 - 2x ≥ 0$，得$x ≤ 2$；
由$\frac{1}{2}x - a ＞ 0$，得$x ＞ 2a$。
不等式组解集为$2a ＜ x ≤ 2$，恰有3个整数解0，1，2。
则$-1 ≤ 2a ＜ 0$，解得$-\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$。
12. (★★)某商品的售价是528元,商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%.设进价为x元,则x的取值范围是.
答案
由题意，利润为售价减去进价，即利润=528 - x。
因为利润是进价的10%~20%，所以：
1. 利润≥进价的10%：528 - x ≥ 0.1x
移项得：528 ≥ 1.1x
解得：x ≤ 528 ÷ 1.1 = 480
2. 利润≤进价的20%：528 - x ≤ 0.2x
移项得：528 ≤ 1.2x
解得：x ≥ 528 ÷ 1.2 = 440
综上，x的取值范围是440 ≤ x ≤ 480。
440 ≤ x ≤ 480
因为利润是进价的10%~20%，所以：
1. 利润≥进价的10%：528 - x ≥ 0.1x
移项得：528 ≥ 1.1x
解得：x ≤ 528 ÷ 1.1 = 480
2. 利润≤进价的20%：528 - x ≤ 0.2x
移项得：528 ≤ 1.2x
解得：x ≥ 528 ÷ 1.2 = 440
综上，x的取值范围是440 ≤ x ≤ 480。
440 ≤ x ≤ 480
13. (★★)解下列不等式组:
(1)$\begin{cases}3(x + 2) ≥ 2x + 5,\\2x - \frac{3x + 1}{2} ＜ 1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 2 ＜ 3(x + 1),\frac{3x - 2}{3} ≥ x + \frac{x - 2}{2};\end{cases}$
(3)$\begin{cases}\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1,\\5x - 1 ＜ 3(x + 1);\end{cases}$
(4)$\begin{cases}2x + 1 ＜ x + 6,\frac{1 - 2x}{2} - \frac{1 - 5x}{6} ≤ \frac{2}{3}.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}3(x + 2) ≥ 2x + 5,\\2x - \frac{3x + 1}{2} ＜ 1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 2 ＜ 3(x + 1),\frac{3x - 2}{3} ≥ x + \frac{x - 2}{2};\end{cases}$
(3)$\begin{cases}\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1,\\5x - 1 ＜ 3(x + 1);\end{cases}$
(4)$\begin{cases}2x + 1 ＜ x + 6,\frac{1 - 2x}{2} - \frac{1 - 5x}{6} ≤ \frac{2}{3}.\end{cases}$
答案
(1) 解不等式$3(x + 2) ≥ 2x + 5$：
$3x + 6 ≥ 2x + 5$
$3x - 2x ≥ 5 - 6$
$x ≥ -1$
解不等式$2x - \frac{3x + 1}{2} ＜ 1$：
$4x - (3x + 1) ＜ 2$
$4x - 3x - 1 ＜ 2$
$x ＜ 3$
不等式组解集：$-1 ≤ x ＜ 3$
(2) 解不等式$5x - 2 ＜ 3(x + 1)$：
$5x - 2 ＜ 3x + 3$
$5x - 3x ＜ 3 + 2$
$2x ＜ 5$
$x ＜ \frac{5}{2}$
解不等式$\frac{3x - 2}{3} ≥ x + \frac{x - 2}{2}$：
$2(3x - 2) ≥ 6x + 3(x - 2)$
$6x - 4 ≥ 9x - 6$
$-3x ≥ -2$
$x ≤ \frac{2}{3}$
不等式组解集：$x ≤ \frac{2}{3}$
(3) 解不等式$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1$：
$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$
$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
$-11x ≤ 11$
$x ≥ -1$
解不等式$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$：
$5x - 1 ＜ 3x + 3$
$2x ＜ 4$
$x ＜ 2$
不等式组解集：$-1 ≤ x ＜ 2$
(4) 解不等式$2x + 1 ＜ x + 6$：
$2x - x ＜ 6 - 1$
$x ＜ 5$
解不等式$\frac{1 - 2x}{2} - \frac{1 - 5x}{6} ≤ \frac{2}{3}$：
$3(1 - 2x) - (1 - 5x) ≤ 4$
$3 - 6x - 1 + 5x ≤ 4$
$-x ≤ 2$
$x ≥ -2$
不等式组解集：$-2 ≤ x ＜ 5$
$3x + 6 ≥ 2x + 5$
$3x - 2x ≥ 5 - 6$
$x ≥ -1$
解不等式$2x - \frac{3x + 1}{2} ＜ 1$：
$4x - (3x + 1) ＜ 2$
$4x - 3x - 1 ＜ 2$
$x ＜ 3$
不等式组解集：$-1 ≤ x ＜ 3$
(2) 解不等式$5x - 2 ＜ 3(x + 1)$：
$5x - 2 ＜ 3x + 3$
$5x - 3x ＜ 3 + 2$
$2x ＜ 5$
$x ＜ \frac{5}{2}$
解不等式$\frac{3x - 2}{3} ≥ x + \frac{x - 2}{2}$：
$2(3x - 2) ≥ 6x + 3(x - 2)$
$6x - 4 ≥ 9x - 6$
$-3x ≥ -2$
$x ≤ \frac{2}{3}$
不等式组解集：$x ≤ \frac{2}{3}$
(3) 解不等式$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1$：
$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$
$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
$-11x ≤ 11$
$x ≥ -1$
解不等式$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$：
$5x - 1 ＜ 3x + 3$
$2x ＜ 4$
$x ＜ 2$
不等式组解集：$-1 ≤ x ＜ 2$
(4) 解不等式$2x + 1 ＜ x + 6$：
$2x - x ＜ 6 - 1$
$x ＜ 5$
解不等式$\frac{1 - 2x}{2} - \frac{1 - 5x}{6} ≤ \frac{2}{3}$：
$3(1 - 2x) - (1 - 5x) ≤ 4$
$3 - 6x - 1 + 5x ≤ 4$
$-x ≤ 2$
$x ≥ -2$
不等式组解集：$-2 ≤ x ＜ 5$
14. (★★)把一篮苹果分给几个学生,若每人分4个,则剩下3个;若每人分5个,则最后一个学生能分到苹果,但最多分3个.用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数.
答案
设学生有$x$人，苹果有$y$个。
由题意得：$y = 4x + 3$。
每人分5个时，最后一个学生分到的苹果数为$y - 5(x - 1)$，且$0 ＜ y - 5(x - 1) ≤ 3$。
将$y = 4x + 3$代入不等式：$0 ＜ 4x + 3 - 5(x - 1) ≤ 3$。
化简得：$0 ＜ -x + 8 ≤ 3$。
解不等式组：
$\begin{cases}-x + 8 ＞ 0 \\ -x + 8 ≤ 3\end{cases}$
解得：$5 ≤ x ＜ 8$。
$x$为正整数，$x = 5, 6, 7$。
当$x = 5$时，$y = 4×5 + 3 = 23$；
当$x = 6$时，$y = 4×6 + 3 = 27$；
当$x = 7$时，$y = 4×7 + 3 = 31$。
答：可能有5人，苹果23个；或6人，苹果27个；或7人，苹果31个。
由题意得：$y = 4x + 3$。
每人分5个时，最后一个学生分到的苹果数为$y - 5(x - 1)$，且$0 ＜ y - 5(x - 1) ≤ 3$。
将$y = 4x + 3$代入不等式：$0 ＜ 4x + 3 - 5(x - 1) ≤ 3$。
化简得：$0 ＜ -x + 8 ≤ 3$。
解不等式组：
$\begin{cases}-x + 8 ＞ 0 \\ -x + 8 ≤ 3\end{cases}$
解得：$5 ≤ x ＜ 8$。
$x$为正整数，$x = 5, 6, 7$。
当$x = 5$时，$y = 4×5 + 3 = 23$；
当$x = 6$时，$y = 4×6 + 3 = 27$；
当$x = 7$时，$y = 4×7 + 3 = 31$。
答：可能有5人，苹果23个；或6人，苹果27个；或7人，苹果31个。
