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6. 若 $ \frac{a}{b} = 2 $，$ \frac{b}{c} = 3 $，则 $ \frac{2a + b}{b + 2c} = $()
A.$ \frac{15}{4} $
B.3
C.1
D.$ \frac{9}{5} $
A.$ \frac{15}{4} $
B.3
C.1
D.$ \frac{9}{5} $
答案
B
解析
由$\frac{a}{b}=2$得$a=2b$；由$\frac{b}{c}=3$得$c=\frac{b}{3}$。
将$a=2b$，$c=\frac{b}{3}$代入$\frac{2a+b}{b+2c}$：
分子：$2a+b=2×2b + b=5b$；
分母：$b+2c=b+2×\frac{b}{3}=\frac{5b}{3}$；
则$\frac{2a+b}{b+2c}=\frac{5b}{\frac{5b}{3}}=3$。
将$a=2b$，$c=\frac{b}{3}$代入$\frac{2a+b}{b+2c}$：
分子：$2a+b=2×2b + b=5b$；
分母：$b+2c=b+2×\frac{b}{3}=\frac{5b}{3}$；
则$\frac{2a+b}{b+2c}=\frac{5b}{\frac{5b}{3}}=3$。
▲7. 已知 $ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2 $，求 $ \frac{x + 5xy - y}{2x - 5xy - 2y} $ 的值.
答案
解：
因为 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，所以 $xy ≠ 0$。
将 $\frac{x + 5xy - y}{2x - 5xy - 2y}$ 的分子、分母同时除以 $xy$，得：
$\frac{\frac{x}{xy} + \frac{5xy}{xy} - \frac{y}{xy}}{\frac{2x}{xy} - \frac{5xy}{xy} - \frac{2y}{xy}} = \frac{\frac{1}{y} + 5 - \frac{1}{x}}{\frac{2}{y} - 5 - \frac{2}{x}}$
变形为：
$\frac{ - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + 5 }{ - 2(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) - 5 }$
把 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$ 代入上式：
$\frac{ -2 + 5 }{ -2×2 - 5 } = \frac{3}{ -9 } = -\frac{1}{3}$
即 $\frac{x + 5xy - y}{2x - 5xy - 2y}$ 的值为 $-\frac{1}{3}$。
因为 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，所以 $xy ≠ 0$。
将 $\frac{x + 5xy - y}{2x - 5xy - 2y}$ 的分子、分母同时除以 $xy$，得：
$\frac{\frac{x}{xy} + \frac{5xy}{xy} - \frac{y}{xy}}{\frac{2x}{xy} - \frac{5xy}{xy} - \frac{2y}{xy}} = \frac{\frac{1}{y} + 5 - \frac{1}{x}}{\frac{2}{y} - 5 - \frac{2}{x}}$
变形为：
$\frac{ - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + 5 }{ - 2(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) - 5 }$
把 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$ 代入上式：
$\frac{ -2 + 5 }{ -2×2 - 5 } = \frac{3}{ -9 } = -\frac{1}{3}$
即 $\frac{x + 5xy - y}{2x - 5xy - 2y}$ 的值为 $-\frac{1}{3}$。
★8. 已知 $ x^{2} - 3x + 1 = 0 $，求：
(1) $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $.
(2) $ \left| x - \frac{1}{x} \right| $.
(1) $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $.
(2) $ \left| x - \frac{1}{x} \right| $.
答案
解：
(1) 由 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $，可知 $ x ≠ 0 $（若 $ x=0 $，左边=1≠0，矛盾），
两边同时除以 $ x $，得：$ x - 3 + \frac{1}{x} = 0 $，即 $ x + \frac{1}{x} = 3 $。
根据完全平方公式：
$ (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} $，
代入 $ x + \frac{1}{x} = 3 $，得：
$ 3^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $，
则 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7 $。
(2) 计算 $ (x - \frac{1}{x})^2 $：
$ (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 $，
代入 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 $，得：
$ (x - \frac{1}{x})^2 = 7 - 2 = 5 $，
所以 $ \left| x - \frac{1}{x} \right| = \sqrt{5} $。
(1) 由 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $，可知 $ x ≠ 0 $（若 $ x=0 $，左边=1≠0，矛盾），
两边同时除以 $ x $，得：$ x - 3 + \frac{1}{x} = 0 $，即 $ x + \frac{1}{x} = 3 $。
根据完全平方公式：
$ (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} $，
代入 $ x + \frac{1}{x} = 3 $，得：
$ 3^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $，
则 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7 $。
(2) 计算 $ (x - \frac{1}{x})^2 $：
$ (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 $，
代入 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 $，得：
$ (x - \frac{1}{x})^2 = 7 - 2 = 5 $，
所以 $ \left| x - \frac{1}{x} \right| = \sqrt{5} $。
9. “约去”指数：如 $ \frac{3^{3} + 1^{3}}{3^{3} + 2^{3}} = \frac{3 + 1}{3 + 2} $；$ \frac{5^{3} + 2^{3}}{5^{3} + 3^{3}} = \frac{5 + 2}{5 + 3} $；……你见过这样的约分吗？面对这样荒谬的约分，认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可进行如下猜想：$ \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + (a - b)^{3}} = \frac{a + b}{a + (a - b)} $，试说明此猜想的正确性.提示：$ x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) $.
答案
证明：
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 + (a - b)^3 = [a + (a - b)][a^2 - a(a - b) + (a - b)^2]$
$\because a^2 - a(a - b) + (a - b)^2$
$= a^2 - a^2 + ab + a^2 - 2ab + b^2$
$= a^2 - ab + b^2$
$\therefore \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{[a + (a - b)](a^2 - ab + b^2)}$
$\because a^2 - ab + b^2 ≠ 0$
$\therefore \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 + (a - b)^3 = [a + (a - b)][a^2 - a(a - b) + (a - b)^2]$
$\because a^2 - a(a - b) + (a - b)^2$
$= a^2 - a^2 + ab + a^2 - 2ab + b^2$
$= a^2 - ab + b^2$
$\therefore \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{[a + (a - b)](a^2 - ab + b^2)}$
$\because a^2 - ab + b^2 ≠ 0$
$\therefore \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$
