8. 提升题 已知：如图，△ABC 和 △ADE 都是等边三角形，连接 BD，将 BD 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BF，连接 CE，EF。求证：
（1）△ADB≌△AEC；
（2）四边形 BCEF 是平行四边形。

（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°。∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC。在△ADB和△AEC中，AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（SAS）。
（2）∵BD绕点B逆时针旋转60°得到BF，∴BF=BD，∠DBF=60°，∴△BDF是等边三角形，∴DF=BD。由（1）知△ADB≌△AEC，∴BD=CE，∴BF=CE。∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°。∵∠BDF=60°，∴∠ADE=∠BDF，∴∠ADE-∠BDE=∠BDF-∠BDE，即∠ADB=∠EDF。在△EDF和△AEC中，DE=AE，∠EDF=∠AEC（由（1）△ADB≌△AEC得∠ADB=∠AEC），DF=CE，∴△EDF≌△AEC（SAS），∴EF=AC。∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∴EF=BC。∵BF=CE且EF=BC，∴四边形BCEF是平行四边形。

9. 提升题 已知：如图，在 □ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长 BC 到点 F，使得 AE = CF。连接 EF，分别交 AB，CD 于点 M，N，连接 DM，BN，BD。求证：
（1）△AEM≌△CFN；
（2）BD 与 MN 互相平分。

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∠DAB=∠BCD。
∵AD//BC，∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）。
∵∠EAM=180°-∠DAB，∠FCN=180°-∠BCD，且∠DAB=∠BCD，∴∠EAM=∠FCN。
在△AEM和△CFN中，
∠E=∠F，
AE=CF，
∠EAM=∠FCN，
∴△AEM≌△CFN（ASA）。
（2）由（1）知△AEM≌△CFN，∴AM=CN。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD。
∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN。
又∵AB//CD，∴BM//DN。
∴四边形BMDN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴BD与MN互相平分（平行四边形的对角线互相平分）。