例1 函数$y=\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}$中自变量$x$的取值范围是()

A.$x≥ - 1$且$x≠ 1$
B.$x≥ - 1$
C.$x≠ 1$
D.$-1≤ x＜ 1$
【思路导析】根据题意得$\begin{cases}x + 1≥ 0\\x - 1≠ 0\end{cases}$
【请你解答】.

A

要使函数$y=\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}$有意义，需满足二次根式的被开方数非负且分母不为零，即$\begin{cases}x + 1≥ 0\\x - 1≠ 0\end{cases}$。解不等式$x + 1≥ 0$，得$x≥ -1$；解不等式$x - 1≠ 0$，得$x≠1$。所以自变量$x$的取值范围是$x≥ -1$且$x≠1$。

例2 若$y$与$x$的关系式为$y = 30x - 6$，当$x=\frac{1}{3}$时，$y$的值为()

A.$5$
B.$10$
C.$4$
D.$-4$
【思路导析】将$x=\frac{1}{3}$代入$y = 30x - 6$中计算即可.
【请你解答】.

C

将$x = \frac{1}{3}$代入$y = 30x - 6$中，得：
$y = 30 × \frac{1}{3} - 6 = 10 - 6 = 4$。

例3 汽车由北京驶往相距$120$km的天津，它的平均速度是$30$km/h，则汽车距天津的路程$s$(单位：km)与行驶时间$t$(单位：h)的函数关系及自变量的取值范围是()

A.$s = 120 - 30t(0≤ t≤ 4)$
B.$s = 30t(0≤ t≤ 4)$
C.$s = 120 - 30t(t＞ 0)$
D.$s = 30t(t = 4)$
【思路导析】汽车距天津的路程$=$全程$-$汽车行驶的路程.
【请你解答】.

A

根据题意，汽车行驶的总路程为$120 \mathrm{km}$, 平均速度为$30 \mathrm{km/h}$。
汽车已行驶的路程为$30t \mathrm{km}$，所以汽车距天津的路程$s$可以表示为：
$s = 120 - 30t$，
接下来确定自变量$t$的取值范围。
当$t = 0$时，汽车还未开始行驶，$s = 120$；
当汽车行驶到天津时，行驶的时间$t$为总路程除以速度，即$t = \frac{120}{30} = 4(h)$，
所以$t$的取值范围为$0 ≤ t ≤ 4$。
综上，汽车距天津的路程$s(km)$关于$t(h)$的函数关系式为$s = 120 - 30t(0 ≤ t ≤ 4)$。

例4 若函数$y=\begin{cases}x^{2}+2(x≤ 2)\\2x(x＞ 2)\end{cases}$，则当函数值$y = 8$时，自变量$x$的值是( )
A. $\pm\sqrt{6}$
B. $4$
C. $\pm\sqrt{6}$或$4$
D. $4$或$-\sqrt{6}$
【探究点拨】将$y = 8$代入函数解析式$y=\begin{cases}x^{2}+2(x≤ 2)\\2x(x＞ 2)\end{cases}$中计算即可，注意求出的$x$要满足各段函数中$x$的取值范围.
【规范解答】因为$y = 8$，所以$x^{2}+2 = 8$或$2x = 8$.当$x^{2}+2 = 8$时，$x^{2}=6$，所以$x=\pm\sqrt{6}$，但是$x≤ 2$，所以取$x = -\sqrt{6}$；当$2x = 8$时，$x = 4$.故$x = 4$或$-\sqrt{6}$，选D.

D

因为 $y=8$，所以分两种情况考虑：
1. 当 $x ≤ 2$ 时，函数为 $y=x^2+2$，令 $x^2+2=8$，得 $x^2=6$，解得 $x= \pm \sqrt{6}$。
由于 $x ≤ 2$，所以仅取 $x=-\sqrt{6}$。
2. 当 $x＞2$ 时，函数为 $y=2x$，令 $2x=8$，得 $x=4$，满足 $x＞2$。
综上，$x=4$ 或 $x=-\sqrt{6}$。

1. 函数$y=\sqrt{1 - x}$的自变量$x$的取值范围为()

A.$x≤ 0$
B.$x≤ 1$
C.$x≥ 0$
D.$x≥ 1$

B

根据二次根式的性质，被开方数须大于或等于0，因此有$1-x≥ 0$，解此不等式得$x≤ 1$。

2. 在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：

(1)$y$是$x$的函数吗？为什么？
(2)分别求当$x$为$5$，$10$，$30$，$50$时的函数值.

(1) $y$ 是 $x$ 的函数。因为对于每一个确定的 $x$ 值（信件质量），都有唯一确定的 $y$ 值（邮资）与之对应，符合函数的定义。
(2) 当 $x = 5$ 时，$0＜5≤20$，根据表格，函数值 $y = 0.80$（元）；
当 $x = 10$ 时，$0＜10≤20$，根据表格，函数值 $y = 0.80$（元）；
当 $x = 30$ 时，$20＜30≤40$，根据表格，函数值 $y = 1.60$（元）；
当 $x = 50$ 时，$40＜50≤60$，根据表格，函数值 $y = 2.40$（元）。