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一、选择题
1. 式子①$x - y$；②$x ≤ y$；③$x + y$；④$x^{2} - 3y$；⑤$x ≥ 0$；⑥$12x ≠ 2$。属于不等式的有()。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
1. 式子①$x - y$；②$x ≤ y$；③$x + y$；④$x^{2} - 3y$；⑤$x ≥ 0$；⑥$12x ≠ 2$。属于不等式的有()。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
不等式是用不等号（＜, ＞, ≤, ≥, ≠）连接的式子。①③④是代数式，不含不等号；②含“≤”，⑤含“≥”，⑥含“≠”，共3个不等式。
2. 若$(a - 2)x^{\vert a - 1\vert} - 2 ＜ 0$是关于$x$的一元一次不等式，则$a$的值为()。
A.2
B.$-1$
C.0
D.0 或 2
A.2
B.$-1$
C.0
D.0 或 2
答案
C
解析
因为是一元一次不等式，所以未知数x的次数为1，且系数不为0。则有|a - 1| = 1且a - 2 ≠ 0。由|a - 1| = 1得a - 1 = 1或a - 1 = -1，即a = 2或a = 0。又因为a - 2 ≠ 0，所以a ≠ 2，故a = 0。
3. (2024 南充期末)若$m ＜ n$，则下列结论中不成立的是()。
A.$3 - m ＜ 3 - n$
B.$m + 3 ＜ n + 3$
C.$m - 3 ＜ n - 3$
D.$3m ＜ 3n$
A.$3 - m ＜ 3 - n$
B.$m + 3 ＜ n + 3$
C.$m - 3 ＜ n - 3$
D.$3m ＜ 3n$
答案
A
解析
根据不等式的基本性质，对各选项逐一分析：
选项B：在不等式$m＜ n$两边同时加上$3$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，可得$m + 3 ＜ n + 3$，该结论成立。
选项C：在不等式$m＜ n$两边同时减去$3$，根据不等式的基本性质，可得$m - 3 ＜ n - 3$，该结论成立。
选项D：在不等式$m＜ n$两边同时乘以$3$，因为$3＞0$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得$3m ＜ 3n$，该结论成立。
选项A：在不等式$m＜ n$两边同时乘以$-1$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得$-m＞ -n$，再在两边同时加上$3$，可得$3 - m ＞ 3 - n$，所以$3 - m ＜ 3 - n$不成立。
选项B：在不等式$m＜ n$两边同时加上$3$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，可得$m + 3 ＜ n + 3$，该结论成立。
选项C：在不等式$m＜ n$两边同时减去$3$，根据不等式的基本性质，可得$m - 3 ＜ n - 3$，该结论成立。
选项D：在不等式$m＜ n$两边同时乘以$3$，因为$3＞0$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得$3m ＜ 3n$，该结论成立。
选项A：在不等式$m＜ n$两边同时乘以$-1$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得$-m＞ -n$，再在两边同时加上$3$，可得$3 - m ＞ 3 - n$，所以$3 - m ＜ 3 - n$不成立。
4. 某市组织一届业余足球联赛，每一支队伍需要进行 24 场比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，其中一支队伍在前 20 场比赛中，负 2 场，积分超过了 48 分，设该球队胜了$x$场，则下列不等关系正确的是()。
A.$3x + (20 - x) ＞ 48$
B.$3x + (18 - x) ＞ 48$
C.$3x + (20 - x) ≥ 48$
D.$3x + (18 - x) ≥ 48$
A.$3x + (20 - x) ＞ 48$
B.$3x + (18 - x) ＞ 48$
C.$3x + (20 - x) ≥ 48$
D.$3x + (18 - x) ≥ 48$
答案
B
解析
该队胜$x$场，由于共进行了$20$场比赛且负了$2$场，所以平的场数为$(20 - 2 - x) = (18 - x)$场。
根据积分规则，胜场得$3x$分，平场得$1 × (18 - x)$分，负场得$0$分，总积分为$3x + (18 - x)$分。
题目要求积分超过$48$分，因此不等式为$3x + (18 - x) ＞ 48$。
根据积分规则，胜场得$3x$分，平场得$1 × (18 - x)$分，负场得$0$分，总积分为$3x + (18 - x)$分。
题目要求积分超过$48$分，因此不等式为$3x + (18 - x) ＞ 48$。
5. 对于任何有理数$a$，$b$，$c$，$d$，规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$。若$\begin{vmatrix}2x&2\\-1&-1\end{vmatrix} ＜ 8$，则$x$的取值范围为( )。
A.$x ＜ 3$
B.$x ＞ 0$
C.$x ＞ -3$
D.$-3 ＜ x ＜ 0$
A.$x ＜ 3$
B.$x ＞ 0$
C.$x ＞ -3$
D.$-3 ＜ x ＜ 0$
答案
C
解析
根据题意，规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$，
则$\begin{vmatrix}2x&2\\-1&-1\end{vmatrix} = (2x)(-1) - (2)(-1) = -2x + 2$。
已知不等式为$-2x + 2 ＜ 8$，
移项得$-2x ＜ 6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，
解得$x ＞ -3$。
则$\begin{vmatrix}2x&2\\-1&-1\end{vmatrix} = (2x)(-1) - (2)(-1) = -2x + 2$。
已知不等式为$-2x + 2 ＜ 8$，
移项得$-2x ＜ 6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，
解得$x ＞ -3$。
6. 春到人间，绿化争先。为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过 4200 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵。已知甲种树苗每棵 45 元，乙种树苗每棵 38 元，则至少可以购买乙种树苗()。
A.42 棵
B.43 棵
C.57 棵
D.58 棵
A.42 棵
B.43 棵
C.57 棵
D.58 棵
答案
D（的前序数字对应选项错误，应为修正后）B
解析
设购买乙种树苗$x$棵，则购买甲种树苗为$(100 - x)$棵，根据题意得：
$45(100 - x) + 38x ≤ 4200$，
展开得：
$4500 - 45x + 38x ≤ 4200$，
移项并合并同类项得：
$-7x ≤ -300$，
系数化为$1$得：
$x ≥ \frac{300}{7} \approx 42.857$，
由于$x$必须是整数（树苗的数量不能是小数或分数），因此$x$的最小整数值为$43$的（因为需要的是至少可以购买乙种树苗的数量，且$42.857$向上取整为$43$）。
但根据不等式的解，$x$应取大于或等于$42.857$的最小整数，即$43$的后续整数检验中，均满足条件，而题目要求“至少”，所以取到最小值即可。
$45(100 - x) + 38x ≤ 4200$，
展开得：
$4500 - 45x + 38x ≤ 4200$，
移项并合并同类项得：
$-7x ≤ -300$，
系数化为$1$得：
$x ≥ \frac{300}{7} \approx 42.857$，
由于$x$必须是整数（树苗的数量不能是小数或分数），因此$x$的最小整数值为$43$的（因为需要的是至少可以购买乙种树苗的数量，且$42.857$向上取整为$43$）。
但根据不等式的解，$x$应取大于或等于$42.857$的最小整数，即$43$的后续整数检验中，均满足条件，而题目要求“至少”，所以取到最小值即可。
二、填空题
7. “$x$的 3 倍与 5 的差不大于 9”用不等式表示为。
7. “$x$的 3 倍与 5 的差不大于 9”用不等式表示为。
答案
$3x - 5 ≤ 9$
8. 若不等式$(m - 1)x ＞ m - 1$的解集为$x ＜ 1$，则$m$的取值范围是。
答案
$m ＜ 1$（填具体范围对应的选项字母）
解析
已知不等式 $(m - 1)x ＞ m - 1$ 的解集为 $x ＜ 1$，
当 $m - 1 ≠ 0$ 时，不等式两边同时除以 $m - 1$，
若 $m - 1 ＞ 0$，则解集为 $x ＞ 1$，与题目给定解集 $x ＜ 1$ 矛盾；
若 $m - 1 ＜ 0$，则不等式方向改变，解集为 $x ＜ 1$，符合题意。
因此 $m - 1 ＜ 0$，即 $m ＜ 1$。
9. (2024 安阳殷都期末)定义一种运算法则“$\otimes$”如下：$a\otimes b=\begin{cases}a(a ＞ b)\\b(a ≤ b)\end{cases}$，例如，$1\otimes 2 = 2$。若$(-3x + 5)\otimes 11 = 11$，则$x$的取值范围是 ______ 。
答案
$x ≥ -2$（填该题横线部分即可，即x≥-2）
解析
根据题中定义，运算$a \otimes b$表示取$a$和$b$中的较大值。
即$a \otimes b = \begin{cases} a (a ＞ b) \\ b (a ≤ b) \end{cases}$，
题目给出$(-3x + 5) \otimes 11 = 11$，这意味着$-3x + 5$和$11$中较大的值为$11$，即$-3x + 5 ≤ 11$（因为只有当$-3x + 5 ≤ 11$时，运算结果才为$11$）。
解不等式：
$-3x + 5 ≤ 11$，
移项，两边同时减去5：
$-3x ≤ 6$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变：
$x ≥ -2$。
因此，$x$的取值范围是$x ≥ -2$。
即$a \otimes b = \begin{cases} a (a ＞ b) \\ b (a ≤ b) \end{cases}$，
题目给出$(-3x + 5) \otimes 11 = 11$，这意味着$-3x + 5$和$11$中较大的值为$11$，即$-3x + 5 ≤ 11$（因为只有当$-3x + 5 ≤ 11$时，运算结果才为$11$）。
解不等式：
$-3x + 5 ≤ 11$，
移项，两边同时减去5：
$-3x ≤ 6$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变：
$x ≥ -2$。
因此，$x$的取值范围是$x ≥ -2$。
10. 已知关于$x$的不等式$4x - 3a ＞ -1$与不等式$2(x - 1) + 3 ＞ 5$的解集相同，则$a =$。
答案
3
解析
解不等式$2(x - 1) + 3 ＞ 5$，得$2x - 2 + 3 ＞ 5$，$2x + 1 ＞ 5$，$2x ＞ 4$，$x ＞ 2$。
解不等式$4x - 3a ＞ -1$，得$4x ＞ 3a - 1$，$x ＞ \frac{3a - 1}{4}$。
因为两不等式解集相同，所以$\frac{3a - 1}{4} = 2$，$3a - 1 = 8$，$3a = 9$，$a = 3$。
解不等式$4x - 3a ＞ -1$，得$4x ＞ 3a - 1$，$x ＞ \frac{3a - 1}{4}$。
因为两不等式解集相同，所以$\frac{3a - 1}{4} = 2$，$3a - 1 = 8$，$3a = 9$，$a = 3$。
11. 某种弹簧，原长 10 cm，所挂重物质量在 1 kg 内，弹簧长度不变，但超过 1 kg 后，每增加 1 kg，长度增加 3 cm，只要长度不超过 37 cm，弹簧就不会坏，那么最多可挂kg 重物。
答案
10
解析
设可以挂的重物为x kg，当x＞1时，弹簧总长度的表达式为：$y=10 + 3(x - 1)$（y为弹簧长度）。因为弹簧长度不超过37 cm不会坏，则可得不等式$10+3(x - 1)≤37$，先化简不等式左边得$10 + 3x-3=3x + 7$，则$3x+7≤37$，移项可得$3x≤37 - 7=30$，解得$x≤10$。
三、解答题
12. 解下列不等式：
（1）$2(x + 1) - 1 ＜ 3x + 2$；
（2）$\frac{x + 3}{2} - 1 ≥ \frac{2x - 3}{3}$。
12. 解下列不等式：
（1）$2(x + 1) - 1 ＜ 3x + 2$；
（2）$\frac{x + 3}{2} - 1 ≥ \frac{2x - 3}{3}$。
答案
（1）$2(x + 1) - 1 ＜ 3x + 2$
解：去括号，得$2x + 2 - 1 ＜ 3x + 2$
移项，得$2x - 3x ＜ 2 - 2 + 1$
合并同类项，得$-x ＜ 1$
系数化为1，得$x ＞ -1$
（2）$\frac{x + 3}{2} - 1 ≥ \frac{2x - 3}{3}$
解：去分母，得$3(x + 3) - 6 ≥ 2(2x - 3)$
去括号，得$3x + 9 - 6 ≥ 4x - 6$
移项，得$3x - 4x ≥ -6 - 9 + 6$
合并同类项，得$-x ≥ -9$
系数化为1，得$x ≤ 9$
解：去括号，得$2x + 2 - 1 ＜ 3x + 2$
移项，得$2x - 3x ＜ 2 - 2 + 1$
合并同类项，得$-x ＜ 1$
系数化为1，得$x ＞ -1$
（2）$\frac{x + 3}{2} - 1 ≥ \frac{2x - 3}{3}$
解：去分母，得$3(x + 3) - 6 ≥ 2(2x - 3)$
去括号，得$3x + 9 - 6 ≥ 4x - 6$
移项，得$3x - 4x ≥ -6 - 9 + 6$
合并同类项，得$-x ≥ -9$
系数化为1，得$x ≤ 9$
