8. （2023·泰安改编）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，D是线段AB的黄金分割点. 若AC=2，则BD的长为_______.
　　　　　　　　　　　

$3 - \sqrt{5}$

9. 当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感. 如图，某女士的身高为165 cm，其下半身长(x cm)与身高的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为_______cm(精确到1 cm).
　　　　　　

8 解析：根据题意，得该女士的下半身长为 $165\times0.60 = 99(cm)$。设她穿的高跟鞋的高度是 $y cm$。由黄金分割的概念，得 $\frac{99 + y}{165 + y}=0.618$，解得 $y\approx8$。经检验，$y\approx8$ 是原方程的解，且符合题意。$\therefore$ 她应穿的高跟鞋的高度大约为 $8cm$。

10. 如图，在矩形ABCD中，CD=2，AD=4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的点E处，O为AC上一点，⊙O经过点A、P.
（1）填空：BC_______⊙O的切线(填“是”或“不是”).
（2）在边CB上截取CF=CE，F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由.
　　　　

(1) 是 解析：连接 $OP$。$\because OA = OP$，$\therefore \angle OAP = \angle APO$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore \angle B = 90^{\circ}$。$\because \triangle AEP$ 是由 $\triangle ABP$ 沿 $AP$ 折叠得到的，$\therefore \angle OAP = \angle PAB$。$\therefore \angle PAB = \angle APO$。$\therefore AB// OP$。$\therefore \angle OPC = \angle B = 90^{\circ}$，即 $OP\perp BC$。$\because$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 上，$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2) $F$ 是线段 $BC$ 的黄金分割点 理由：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AB = CD = 2$，$BC = AD = 4$。$\therefore$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得 $AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$。由折叠，得 $AE = AB = 2$。$\therefore CE = AC - AE = 2\sqrt{5}-2$。$\therefore CF = CE = 2\sqrt{5}-2$。$\therefore CF^{2}=(2\sqrt{5}-2)^{2}=24 - 8\sqrt{5}$，$BF\cdot BC=(BC - CF)\cdot BC=(4 - 2\sqrt{5}+2)\times4 = 24 - 8\sqrt{5}$。$\therefore CF^{2}=BF\cdot BC$，即 $\frac{BF}{CF}=\frac{CF}{BC}$。$\therefore F$ 是线段 $BC$ 的黄金分割点。

11. （1）（2024·南充改编）如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧，交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧，交边AB于点E. 求证：$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做AE与AB的黄金比).
（2）如果一个等腰三角形的底边长与腰长的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形. 请你以如图②所示的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC(不写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注).
　　　

(1) $\because AB = 2BC$，$\therefore$ 设 $BC = x(x ＞ 0)$，则 $CD = x$，$AB = 2x$。$\therefore$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得 $AC = \sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=\sqrt{5}x$。$\therefore AE = AD = AC - CD = (\sqrt{5}-1)x$。$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)x}{2x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (2) 如图，$\triangle ABC$ 即为所求