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2.(2023·襄城县期末)阅读材料，并解答问题.
材料1：为了研究分式$\frac{1}{x}$与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
观察表格数据可知，当x＞0时，随着x的增大，$\frac{1}{x}$的值减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，$\frac{1}{x}$的值也减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式. 当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式. 有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式. 如：$\frac{2x + 1}{x - 4}=\frac{2x - 8 + 8 + 1}{x - 4}=\frac{2x - 8}{x - 4}+\frac{8 + 1}{x - 4}=2+\frac{9}{x - 4}$.
根据上述材料解答下列问题：
(1)当x＞0时，随着x的增大，$1+\frac{1}{x}$的值__________；
当x＜0时，随着x的增大，$\frac{x + 2}{x}$的值__________；(均填“增大”或“减小”)
(2)当x＞1时，随着x的增大，$\frac{2x + 2}{x - 1}$的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当0≤x≤2时，求代数式$\frac{5x - 2}{x - 3}$的值的范围.
材料1：为了研究分式$\frac{1}{x}$与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
观察表格数据可知，当x＞0时，随着x的增大，$\frac{1}{x}$的值减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，$\frac{1}{x}$的值也减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式. 当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式. 有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式. 如：$\frac{2x + 1}{x - 4}=\frac{2x - 8 + 8 + 1}{x - 4}=\frac{2x - 8}{x - 4}+\frac{8 + 1}{x - 4}=2+\frac{9}{x - 4}$.
根据上述材料解答下列问题：
(1)当x＞0时，随着x的增大，$1+\frac{1}{x}$的值__________；
当x＜0时，随着x的增大，$\frac{x + 2}{x}$的值__________；(均填“增大”或“减小”)
(2)当x＞1时，随着x的增大，$\frac{2x + 2}{x - 1}$的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当0≤x≤2时，求代数式$\frac{5x - 2}{x - 3}$的值的范围.
答案
解：(1)减小 减小
(2)$\because\frac{2x + 2}{x - 1}=\frac{2(x - 1)+4}{x - 1}=2+\frac{4}{x - 1}$，
又$\because$当$x\gt1$时，随着$x$的增大，$\frac{4}{x - 1}$的值无限接近0，
$\therefore\frac{2x + 2}{x - 1}$的值无限接近2.
(3)$\because\frac{5x - 2}{x - 3}=\frac{5(x - 3)+13}{x - 3}=5+\frac{13}{x - 3}$，
又$\because0\leq x\leq2$，
$\therefore - 13\leq\frac{13}{x - 3}\leq-\frac{13}{3}$，
$\therefore - 8\leq\frac{5x - 2}{x - 3}\leq\frac{2}{3}$.
(2)$\because\frac{2x + 2}{x - 1}=\frac{2(x - 1)+4}{x - 1}=2+\frac{4}{x - 1}$，
又$\because$当$x\gt1$时，随着$x$的增大，$\frac{4}{x - 1}$的值无限接近0，
$\therefore\frac{2x + 2}{x - 1}$的值无限接近2.
(3)$\because\frac{5x - 2}{x - 3}=\frac{5(x - 3)+13}{x - 3}=5+\frac{13}{x - 3}$，
又$\because0\leq x\leq2$，
$\therefore - 13\leq\frac{13}{x - 3}\leq-\frac{13}{3}$，
$\therefore - 8\leq\frac{5x - 2}{x - 3}\leq\frac{2}{3}$.
