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4. 【数学文化】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 900 里外的城市，需要的时间比规定时间多 1 天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天。已知快马的速度是慢马速度的 2 倍，求规定时间。设规定时间为 $ x $ 天，则可列方程为。(里是长度单位)
答案
$\frac{900}{x - 3} = 2 × \frac{900}{x + 1}$
解析
设规定时间为 $ x $ 天。
慢马所用时间为 $ (x + 1) $ 天，慢马速度为 $ \frac{900}{x + 1} $；
快马所用时间为 $ (x - 3) $ 天，快马速度为 $ \frac{900}{x - 3} $。
因为快马速度是慢马速度的 2 倍，所以可列方程：
$ \frac{900}{x - 3} = 2 × \frac{900}{x + 1} $
慢马所用时间为 $ (x + 1) $ 天，慢马速度为 $ \frac{900}{x + 1} $；
快马所用时间为 $ (x - 3) $ 天，快马速度为 $ \frac{900}{x - 3} $。
因为快马速度是慢马速度的 2 倍，所以可列方程：
$ \frac{900}{x - 3} = 2 × \frac{900}{x + 1} $
5. 【跨学科】为配制一定浓度(浓度 = 纯量：总量) 的盐水溶液，在一个足够大的容器中，先加入 10 g 的盐和一定量的水。由于实验的需要发现盐水质量不够，又加入 5 g 的盐和 40 g 的水，恰好与原来配制的浓度相同，则原来盐水溶液的质量为g。
答案
设原来加入水的质量为$x$克，原来盐水溶液的质量为$(10 + x)$克。
原来盐水浓度为$\frac{10}{10 + x}$。
加入$5g$盐和$40g$水后，盐的总质量为$10 + 5 = 15g$，水的总质量为$x + 40$克，此时盐水总质量为$15 + (x + 40) = x + 55$克，浓度为$\frac{15}{x + 55}$。
依题意列方程：$\frac{10}{10 + x} = \frac{15}{x + 55}$。
交叉相乘得：$10(x + 55) = 15(10 + x)$。
展开：$10x + 550 = 150 + 15x$。
移项：$550 - 150 = 15x - 10x$。
化简：$400 = 5x$，解得$x = 80$。
原来盐水溶液质量为$10 + x = 10 + 80 = 90$克。
90
原来盐水浓度为$\frac{10}{10 + x}$。
加入$5g$盐和$40g$水后，盐的总质量为$10 + 5 = 15g$，水的总质量为$x + 40$克，此时盐水总质量为$15 + (x + 40) = x + 55$克，浓度为$\frac{15}{x + 55}$。
依题意列方程：$\frac{10}{10 + x} = \frac{15}{x + 55}$。
交叉相乘得：$10(x + 55) = 15(10 + x)$。
展开：$10x + 550 = 150 + 15x$。
移项：$550 - 150 = 15x - 10x$。
化简：$400 = 5x$，解得$x = 80$。
原来盐水溶液质量为$10 + x = 10 + 80 = 90$克。
90
6. 【数学应用】某店在开学初用 880 元购进若干个学生专用科学计算器，按每个 50 元出售，很快就销售一空。据了解，学生还急需 3 倍数量的这种计算器。于是又用 2580 元购进所需计算器。由于量大，每个进价比上次优惠了 1 元。该店仍按每个 50 元销售，最后剩下 4 个按九折卖出，问这笔生意该店共盈利了多少钱?
答案
设第一次购进计算器数量为$x$个，则第二次购进$3x$个。
第一次进价为$\frac{880}{x}$元，第二次进价为$(\frac{880}{x}-1)$元，依题意得：
$3x(\frac{880}{x}-1)=2580$
化简得：$2640 - 3x = 2580$
解得：$x=20$
第一次购进20个，第二次购进$3×20=60$个。
第一次销售额：$20×50=1000$元
第二次销售额：$(60 - 4)×50 + 4×(50×0.9)=56×50 + 4×45=2800 + 180=2980$元
总销售额：$1000 + 2980=3980$元
总成本：$880 + 2580=3460$元
盈利：$3980 - 3460=520$元
答：这笔生意该店共盈利520元。
第一次进价为$\frac{880}{x}$元，第二次进价为$(\frac{880}{x}-1)$元，依题意得：
$3x(\frac{880}{x}-1)=2580$
化简得：$2640 - 3x = 2580$
解得：$x=20$
第一次购进20个，第二次购进$3×20=60$个。
第一次销售额：$20×50=1000$元
第二次销售额：$(60 - 4)×50 + 4×(50×0.9)=56×50 + 4×45=2800 + 180=2980$元
总销售额：$1000 + 2980=3980$元
总成本：$880 + 2580=3460$元
盈利：$3980 - 3460=520$元
答：这笔生意该店共盈利520元。
7. 【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。
(1) 如图①，在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2 $，$ AD = 3 $，$ ∠ BAD = 60^{\circ} $。图②右侧的阴影部分可以看成左侧阴影部分沿射线 $ AD $ 方向平移而成，其中，平移的距离是。同理，如图③，再进行一次上、下阴影部分的切割平移，得到图④，即图④可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图④所示的图形，平面镶嵌成如图⑤所示的图形，则图⑤中的图形的面积是。
(2) 小明家浴室装修，在墙中央留下了如图⑥所示的空白，经测量可以按图⑦所示方式，全部用边长为 1 的正三角形瓷砖镶嵌。小明调查后发现：一块边长为 1 的正三角形瓷砖比一块边长为 1 的正六边形瓷砖便宜 40 元；用 500 元购买正三角形瓷砖与用 2500 元购买正六边形瓷砖的数量相等。
① 请问两种瓷砖每块各多少元?
② 小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为 1 的正三角形瓷砖和边长为 1 的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少。按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元。
(第 7 题)
(1) 如图①，在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2 $，$ AD = 3 $，$ ∠ BAD = 60^{\circ} $。图②右侧的阴影部分可以看成左侧阴影部分沿射线 $ AD $ 方向平移而成，其中，平移的距离是。同理，如图③，再进行一次上、下阴影部分的切割平移，得到图④，即图④可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图④所示的图形，平面镶嵌成如图⑤所示的图形，则图⑤中的图形的面积是。
(2) 小明家浴室装修，在墙中央留下了如图⑥所示的空白，经测量可以按图⑦所示方式，全部用边长为 1 的正三角形瓷砖镶嵌。小明调查后发现：一块边长为 1 的正三角形瓷砖比一块边长为 1 的正六边形瓷砖便宜 40 元；用 500 元购买正三角形瓷砖与用 2500 元购买正六边形瓷砖的数量相等。
① 请问两种瓷砖每块各多少元?
② 小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为 1 的正三角形瓷砖和边长为 1 的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少。按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元。
(第 7 题)
答案
(1) 3；18√3
(2) ① 设正三角形瓷砖每块$x$元，则正六边形瓷砖每块$(x + 40)$元。
由题意得$\frac{500}{x} = \frac{2500}{x + 40}$，解得$x = 10$，经检验$x = 10$是原方程的解。
正六边形瓷砖：$10 + 40 = 50$元。
② 500
(2) ① 设正三角形瓷砖每块$x$元，则正六边形瓷砖每块$(x + 40)$元。
由题意得$\frac{500}{x} = \frac{2500}{x + 40}$，解得$x = 10$，经检验$x = 10$是原方程的解。
正六边形瓷砖：$10 + 40 = 50$元。
② 500
