【变式】 如图,已知AB是$\odot O$的直径,C是$\odot O$上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于点D,DE交BC于点F,且EF= EC。
(1)求证：EC是$\odot O$的切线。
(2)若BD= 4,BC= 8,$\odot O$的半径OB= 5,求EC的长。
(1)求证：EC是$\odot O$的切线。
(2)若BD= 4,BC= 8,$\odot O$的半径OB= 5,求EC的长。
答案
解:
(1)证明:如图，连结OC.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
∵DE⊥AB,
∴∠OBC+∠DFB=90°.
∵EF=EC,
∴∠ECF=∠EFC=∠DFB,
∴∠OCB+∠ECF=90°,
即∠OCE=90°,
∴OC⊥EC.
又
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线
(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵OB=5,
∴AB=10,
∴AC= $\sqrt{AB²−BC²}$= $\sqrt{100−64}$=6.
∵cos∠ABC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$,
∴$\frac{4}{10}$=$\frac{BF}{8}$,
∴BF=5,
∴CF=BC−BF=3.
∵∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠BFD=90°,
∴∠BFD=∠A,
∴∠A=∠BFD=∠EFC=∠ECF.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠EFC=∠ECF,
∴△ECF∽△OAC,
∴$\frac{EC}{OA}$=$\frac{CF}{AC}$,
∴EC=$\frac{OA\cdot CF}{AC}$=$\frac{5×3}{6}$=$\frac{5}{2}$.
(1)证明:如图，连结OC.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
∵DE⊥AB,
∴∠OBC+∠DFB=90°.
∵EF=EC,
∴∠ECF=∠EFC=∠DFB,
∴∠OCB+∠ECF=90°,
即∠OCE=90°,
∴OC⊥EC.
又
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线
(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵OB=5,
∴AB=10,
∴AC= $\sqrt{AB²−BC²}$= $\sqrt{100−64}$=6.
∵cos∠ABC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$,
∴$\frac{4}{10}$=$\frac{BF}{8}$,
∴BF=5,
∴CF=BC−BF=3.
∵∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠BFD=90°,
∴∠BFD=∠A,
∴∠A=∠BFD=∠EFC=∠ECF.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠EFC=∠ECF,
∴△ECF∽△OAC,
∴$\frac{EC}{OA}$=$\frac{CF}{AC}$,
∴EC=$\frac{OA\cdot CF}{AC}$=$\frac{5×3}{6}$=$\frac{5}{2}$.
【例3】 如图所示,$\odot O$是Rt△ABC的内切圆,它与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过$\widehat{DE}$(不包括端点D,E)上任一点P作$\odot O$的切线MN,与AB,BC分别交于点M,N。若$\odot O$的半径为r,则Rt△MBN的周长为______。(用含r的代数式表示)
答案
2r
解析
解：连接OD，OE，OP。
∵$\odot O$是Rt△ABC的内切圆，与AB,BC相切于D,E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=r。
∵∠B=90°，
∴四边形ODBE为正方形，
∴BD=BE=r。
∵MN切$\odot O$于P，
∴MP=MD，NP=NE。
设MD=MP=x，NE=NP=y。
则Rt△MBN的周长=MB+BN+MN=MB+BN+MP+NP=MB+BN+MD+NE=(MB+MD)+(BN+NE)=BD+BE=r+r=2r。
2r
∵$\odot O$是Rt△ABC的内切圆，与AB,BC相切于D,E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=r。
∵∠B=90°，
∴四边形ODBE为正方形，
∴BD=BE=r。
∵MN切$\odot O$于P，
∴MP=MD，NP=NE。
设MD=MP=x，NE=NP=y。
则Rt△MBN的周长=MB+BN+MN=MB+BN+MP+NP=MB+BN+MD+NE=(MB+MD)+(BN+NE)=BD+BE=r+r=2r。
2r
【变式】 如图,AB是$\odot O$的直径,PB,PC与$\odot O$分别相切于点B,C,PC交BA的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E。
(1)求证：$\angle EPD= \angle EDO$。
(2)若PC= 6,$\tan\angle PDB= \frac{3}{4}$,求OE的长。
(1)求证：$\angle EPD= \angle EDO$。
(2)若PC= 6,$\tan\angle PDB= \frac{3}{4}$,求OE的长。
答案
解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,PB,PC与⊙O分别相切于点B,C,
∴∠EPD=∠EPB,∠PBO=90°.
∵DE⊥PO,
∴∠PBO=∠DEO=90°.
∵∠DOE=∠POB,
∴∠EPB=∠EDO,
∴∠EPD=∠EDO.
(2)由题意得PB=PC=6,∠PBO=90°.
∵tan∠PDB=$\frac{3}{4}$=$\frac{PB}{DB}$=$\frac{6}{DB}$,解得DB=8,
∴PD= $\sqrt{DB²+PB²}$=10,
∴DC=PD−PC=4.
如图,连结OC,则OB=OC,
在Rt△DCO中,(8−OB)²=
OC²+4²,
解得OB=OC=3,
∴PO= $\sqrt{PB²+OB²}$=3$\sqrt{5}$
∴sin∠EPB=sin∠EDO=$\frac{OB}{PO}$=$\frac{OE}{OD}$,
∴$\frac{3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{OE}{DB - OB}$=$\frac{OE}{8 - 3}$,
解得OE=$\sqrt{5}$
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,PB,PC与⊙O分别相切于点B,C,
∴∠EPD=∠EPB,∠PBO=90°.
∵DE⊥PO,
∴∠PBO=∠DEO=90°.
∵∠DOE=∠POB,
∴∠EPB=∠EDO,
∴∠EPD=∠EDO.
(2)由题意得PB=PC=6,∠PBO=90°.
∵tan∠PDB=$\frac{3}{4}$=$\frac{PB}{DB}$=$\frac{6}{DB}$,解得DB=8,
∴PD= $\sqrt{DB²+PB²}$=10,
∴DC=PD−PC=4.
如图,连结OC,则OB=OC,
在Rt△DCO中,(8−OB)²=
OC²+4²,
解得OB=OC=3,
∴PO= $\sqrt{PB²+OB²}$=3$\sqrt{5}$
∴sin∠EPB=sin∠EDO=$\frac{OB}{PO}$=$\frac{OE}{OD}$,
∴$\frac{3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{OE}{DB - OB}$=$\frac{OE}{8 - 3}$,
解得OE=$\sqrt{5}$
